21.19 • Duas cargas puntiformes estão localizadas sobre o eixo y do seguinte modo: carga q_{1}=-1,50 \mathrm{nC} no ponto y=-0,600 \mathrm{~m}; e carga q_{2}=+3,20 \mathrm{nC} na origem ( y=0 ). Qual é a força resultante (módulo, direção e sentido) que essas duas cargas exercem sobre uma terceira carga q_{3}=+5,00 \mathrm{nC}, localizada no ponto y=-0,400 \mathrm{~m} ?
21.20 • Duas cargas puntiformes são colocadas sobre o eixo x do seguinte modo: carga q_{1}=+4,00 \mathrm{nC} está localizada no ponto x=0,200 \mathrm{~m} e carga q_{2}=+5,00 \mathrm{nC}, no ponto x=-0,300 \mathrm{~m}. Qual é o módulo, a direção e o sentido da força resultante que essas duas cargas exercem sobre uma terceira carga puntiforme negativa q_{3}=-6,00 \mathrm{nC}, localizada na origem?

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Questão 21.19 — dados:
  • q_1 = -1{,}50\\ \mathrm{nC} localizado em y=-0{,}600\\ \mathrm{m}.
  • q_2 = +3{,}20\\ \mathrm{nC} localizado em y=0.
  • q_3 = +5{,}00\\ \mathrm{nC} localizado em y=-0{,}400\\ \mathrm{m}.
O que se pede: calcular a força resultante (módulo, direção e sentido) que as cargas q_1 e q_2 exercem sobre q_3.
Questão 21.20 — dados:
  • q_1 = +4{,}00\\ \mathrm{nC} em x=+0{,}200\\ \mathrm{m}.
  • q_2 = +5{,}00\\ \mathrm{nC} em x=-0{,}300\\ \mathrm{m}.
  • q_3 = -6{,}00\\ \mathrm{nC} em x=0 (origem).
O que se pede: calcular a força resultante (módulo, direção e sentido) que q_1 e q_2 exercem sobre q_3.

Passo 2

Relembrando a teoria necessária (aula curtinha e prática).
Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas puntiformes):
F = k\frac{|q_a q_b|}{r^{2}},
onde
  • F é o módulo da força elétrica entre as duas cargas (em newtons),
  • k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} (constante eletrostática no vácuo),
  • q_a e q_b são as cargas (em coulombs),
  • r é a distância entre as cargas (em metros).
Sinal e direção:
  • Se as cargas tiverem sinais iguais (ambas positivas ou ambas negativas) a força é repulsiva: cada carga é empurrada para longe da outra.
  • Se tiverem sinais opostos, a força é atrativa: cada carga é puxada em direção à outra.
  • Em uma dimensão (eixos x ou y) podemos tratar forças como escalares com sinal (+ para direção positiva do eixo, − para direção negativa) e somá-las pela superposição.
Conversão de unidades: 1\\ \mathrm{nC}=1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}. Sempre converter antes de usar a fórmula.

Passo 3

Preparação numérica para 21.19: converter cargas e achar distâncias (peguei as posições do enunciado).
Conversões:
q_1=-1{,}50\\ \mathrm{nC}=-1{,}50\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, \quad q_2=+3{,}20\\ \mathrm{nC}=3{,}20\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, \quad q_3=+5{,}00\\ \mathrm{nC}=5{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Distâncias entre cada carga e q_3:
r_{13}=|y_{1}-y_{3}|=|-0{,}600-(-0{,}400)|=0{,}200\\ \mathrm{m},
r_{23}=|y_{2}-y_{3}|=|0-(-0{,}400)|=0{,}400\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular os módulos das forças individuais sobre q_3 (21.19), aplicando Coulomb passo a passo.
Força de q_1 sobre q_3:
|q_1 q_3|=(1{,}50\times10^{-9})(5{,}00\times10^{-9})=7{,}5\times10^{-18}\\ \mathrm{C^{2}}.
F_{13}=k\frac{|q_1 q_3|}{r_{13}^{2}} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{7{,}5\times10^{-18}}{(0{,}200)^{2}}.
Calcular internamente:
(0{,}200)^{2}=0{,}040, \quad \frac{7{,}5\times10^{-18}}{0{,}040}=1{,}875\times10^{-16}.
F_{13}=8{,}99\times10^{9}\times1{,}875\times10^{-16}=1{,}685625\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente: F_{13}\approx1{,}69\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Força de q_2 sobre q_3:
|q_2 q_3|=(3{,}20\times10^{-9})(5{,}00\times10^{-9})=16{,}0\times10^{-18}=1{,}60\times10^{-17}\\ \mathrm{C^{2}}.
F_{23}=k\frac{|q_2 q_3|}{r_{23}^{2}} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{1{,}60\times10^{-17}}{(0{,}400)^{2}}.
Calcular internamente:
(0{,}400)^{2}=0{,}160, \quad \frac{1{,}60\times10^{-17}}{0{,}160}=1{,}00\times10^{-16}.
F_{23}=8{,}99\times10^{9}\times1{,}00\times10^{-16}=8{,}99\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
Arredondando: F_{23}\approx8{,}99\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Determinar direções (21.19) e somar vetorialmente (aqui é 1D no eixo y).
  • q_1 é negativa e q_3 é positiva ⇒ atração: q_3 é puxada na direção de q_1. Como q_1 está em y=-0{,}600 e q_3 em y=-0{,}400, a força \vec{F}_{13} aponta para y mais negativo (direção negativa do eixo y).
  • q_2 é positiva e q_3 é positiva ⇒ repulsão: q_2 repele q_3, empurrando q_3 para baixo (para y mais negativo), já que q_2 está em y=0 e q_3 em y=-0{,}400.
Ambas as forças têm o mesmo sentido (direção negativa de y), logo o módulo da resultante é soma das magnitudes:
F_{\text{res,21.19}}=F_{13}+F_{23}=1{,}685625\times10^{-6}+8{,}99\times10^{-7}=2{,}584625\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Arredondando para 3 algarismos significativos:
F_{\text{res,21.19}}\approx2{,}58\times10^{-6}\\ \mathrm{N},
direção: ao longo do eixo y (vertical), sentido para y negativo (ou “para baixo”, em direção a y=-0{,}600\\ \mathrm{m}).

Passo 6

Preparação numérica para 21.20: converter cargas e achar distâncias (peguei as posições do enunciado).
Conversões:
q_1=4{,}00\\ \mathrm{nC}=4{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, \quad q_2=5{,}00\\ \mathrm{nC}=5{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, \quad q_3=-6{,}00\\ \mathrm{nC}=-6{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Distâncias entre cada carga e q_3 (que está na origem):
r_{13}=|x_{1}-x_{3}|=|0{,}200-0|=0{,}200\\ \mathrm{m},
r_{23}=|x_{2}-x_{3}|=|-0{,}300-0|=0{,}300\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular os módulos das forças individuais sobre q_3 (21.20).
Força de q_1 sobre q_3:
|q_1 q_3|=(4{,}00\times10^{-9})(6{,}00\times10^{-9})=24{,}0\times10^{-18}=2{,}40\times10^{-17}\\ \mathrm{C^{2}}.
F_{13}=k\frac{|q_1 q_3|}{r_{13}^{2}} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{2{,}40\times10^{-17}}{(0{,}200)^{2}}.
Calcular internamente:
(0{,}200)^{2}=0{,}040, \quad \frac{2{,}40\times10^{-17}}{0{,}040}=6{,}00\times10^{-16}.
F_{13}=8{,}99\times10^{9}\times6{,}00\times10^{-16}=5{,}394\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Arredondando: F_{13}\approx5{,}39\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Força de q_2 sobre q_3:
|q_2 q_3|=(5{,}00\times10^{-9})(6{,}00\times10^{-9})=30{,}0\times10^{-18}=3{,}00\times10^{-17}\\ \mathrm{C^{2}}.
F_{23}=k\frac{|q_2 q_3|}{r_{23}^{2}} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{3{,}00\times10^{-17}}{(0{,}300)^{2}}.
Calcular internamente:
(0{,}300)^{2}=0{,}090, \quad \frac{3{,}00\times10^{-17}}{0{,}090}=3{,}333\overline{3}\times10^{-16}.
F_{23}=8{,}99\times10^{9}\times3{,}333\overline{3}\times10^{-16}=2{,}9967\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Arredondando: F_{23}\approx3{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Determinar direções (21.20) e somar vetorialmente (1D no eixo x).
  • q_1 é positiva e q_3 é negativa ⇒ atração: q_3 é puxada para q_1 (para x=+0{,}200), ou seja, força \vec{F}_{13} aponta para +\hat{\imath} (eixo x positivo).
  • q_2 é positiva e q_3 é negativa ⇒ atração: q_3 é puxada para q_2 (para x=-0{,}300), ou seja, força \vec{F}_{23} aponta para -\hat{\imath} (eixo x negativo).
Como têm sentidos opostos, a resultante é diferença das magnitudes, adotando positivo para +\hat{\imath}:
F_{\text{res,21.20}}=F_{13}-F_{23}=5{,}394\times10^{-6}-2{,}9967\times10^{-6}=2{,}3973\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Arredondando para 3 algarismos significativos:
F_{\text{res,21.20}}\approx2{,}40\times10^{-6}\\ \mathrm{N},
direção: ao longo do eixo x, sentido positivo (para a direita, em direção a q_1 em x=+0{,}200\\ \mathrm{m}).

Resposta

21.19: 2{,}58\times10^{-6}\\ \mathrm{N} direcionada ao longo do eixo y no sentido negativo (para baixo, em direção a y=-0{,}600\\ \mathrm{m}).
21.20: 2{,}40\times10^{-6}\\ \mathrm{N} direcionada ao longo do eixo x no sentido positivo (para a direita, em direção a x=+0{,}200\\ \mathrm{m}).

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