Questāo 2 ( 15%) Para um escoamento no plano x y, a componente x da velocidade é dada por:
u=x(A y-B)
Simplifique a equação da continuidade para coordenadas retangulares e prove que
v=-y^2+5 y+3 x
é uma possível solução para a componente y de velocidade para o escoamento permanente e incompressivel. A=2 m^-1 s^-1 e B=5 s^-1
Equação da continuidade para coordenadas retangulares
partial rho upartial x+partial rho vpartial y+partial rho wpartial z+partial rhopartial t=0

Passo 1

O enunciado dá um escoamento bidimensional (plano x y) com componente x da velocidade
u = x,(A,y - B),
onde A=2 m^-1 s^-1 e B=5 s^-1. Queremos simplificar a equação da continuidade em coordenadas retangulares para escoamento permanente e incompressível e mostrar que
v = -y^2 + 5,y + 3,x
é uma possível componente y de velocidade que satisfaz essa equação.

Passo 2

A equação geral da continuidade em coordenadas retangulares é
partial rho,upartial x + partial rho,vpartial y + partial rho,wpartial z + partial rhopartial t = 0
Para escoamento incompressível ( rho constante) e permanente ( partial rho/partial t = 0), e como o escoamento é bidimensional ( w=0), a continuidade reduz-se a
partial upartial x + partial vpartial y = 0

Passo 3

Vamos calcular partial u/partial x. Como
u = x,(A,y - B),
temos
partial upartial x = A,y - B

Passo 4

Agora calculamos partial v/partial y para a função proposta
v = -y^2 + 5,y + 3,x
Dessa forma,
partial vpartial y = -2,y + 5

Passo 5

Somando as derivadas:
partial upartial x + partial vpartial y = (A,y - B) + (-2,y + 5) = (A - 2),y + (5 - B)
Substituindo A=2 e B=5 fica
(A - 2),y + (5 - B) = (2 - 2),y + (5 - 5) = 0

Resposta

A função
v = -y^2 + 5,y + 3,x
satisfaz a equação da continuidade reduzida partial u/partial x + partial v/partial y = 0 para A=2 e B=5, logo é uma possível componente y de velocidade.

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