Questão 25. Analise as afirmações:
I - 0,232323… e 0,121121112… são números racionais
II - Se a e b, ambos positivos, são tais que
, então
.
III
é uma indeterminação
Qual(is) é(são) correta(s)?
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas III
d) duas delas
I - 0,232323… e 0,121121112… são números racionais
Qual(is) é(são) correta(s)?
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas III
d) duas delas
Passo 1
O enunciado pede que eu analise a veracidade das três afirmações abaixo e escolha qual(is) é(são) correta(s). As afirmações são:
I -
e
são números racionais.
II - Se
e
, ambos positivos, são tais que
, então
.
III -
é uma indeterminação.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as três afirmações acima (preciso decidir verdade/falsidade) e as opções de resposta (a) apenas I, (b) apenas II, (c) apenas III, (d) duas delas. A resolução começa agora.
Passo 2
Entendendo e testando a parte da afirmação I — conceito importante: um número é racional se, e somente se, a sua representação decimal é finita ou periódica (eventualmente periódica). Isso significa que, depois de algum ponto, os dígitos repetem-se com um período fixo. Vou analisar cada decimal dado.
Passo 3
Analisando
. Aqui vemos um período óbvio: os dígitos “23” repetem-se infinitamente. Um número decimal com repetição periódica é racional. Para consolidar, transformo em fração usando o método clássico: seja
. Multiplicando por
(porque o período tem 2 dígitos) obtemos
. Subtraindo,
Logo
Portanto
é racional. (Aqui expliquei como transformar repetição em fração: multiplicar por potência de 10 igual ao comprimento do período, subtrair e resolver.)
Passo 4
Analisando
. Primeiro preciso identificar o padrão: os termos aparecem como
ou seja, parece que aparecem blocos com um número crescente de algarismos “1” seguidos de um “2”: “12”, “112”, “1112”, “11112”, etc. Esse padrão significa que o número tem blocos de
vezes o dígito 1 seguidos por um 2, com
crescendo indefinidamente. Vou mostrar por que isso impede periodicidade.
Passo 5
Argumento para mostrar que
não é periódico (logo não é racional). Se a expansão fosse periódica com período
, existiria um ponto a partir do qual os dígitos repetem-se em blocos de tamanho
continuamente. Mas no nosso número os comprimentos dos blocos de 1’s aumentam sem limite: existe um bloco com
uns consecutivos (basta ir suficientemente à frente na expansão). Esse bloco com
uns não pode ser obtido por repetição de um padrão de tamanho
que se repete eternamente (pois um padrão finito não produz blocos de 1s com comprimento arbitrariamente grande). Logo a expansão não é eventual e não tem período fixo. Portanto o decimal não é periódico e, por consequência, não é racional. Conclusão:
é irracional.
Passo 6
Conclusão parcial sobre I: a primeira parte
é racional, mas a segunda
não é racional. A afirmação I diz que ambos são racionais — isso é falso.
Passo 7
Agora a afirmação II. Primeiro relembre: para
com
temos sempre
porque a função
é crescente quando
(derivada
para
). Assim a parte
é correta. O problema é a segunda desigualdade proposta,
. Vou comparar
e
.
Passo 8
Analise de
versus
: observe que
- Se
, então e , logo . - Se
, então e , logo .
Portantonem sempre ocorre; depende se é maior ou menor que .
Passo 9
Contraexemplo simples que mostra a afirmação II é falsa: escolha
e
. Então
verdade, mas
logo
é falso neste caso. Assim a afirmação II é falsa.
Passo 10
Agora a afirmação III. Vou simplificar o numerador e o denominador separadamente, usando regras de expoentes:
e
, além de
e
.
Passo 11
Simplificando o numerador:
Usando potências de base
,
Assim o numerador fica
Passo 12
Simplificando o denominador:
Primeiro
.
Segundo , então
Segundo
Logo o denominador é
Passo 13
Portanto a expressão total é da forma
. Em aritmética isso é uma indeterminação (expressão sem valor definido), e em análise é chamada de forma indeterminada
. Assim a afirmação III, que diz que a expressão é uma indeterminação, é verdadeira.
Passo 14
Resumo lógico dos resultados:
- I é falsa (primeiro número racional, segundo não).
- II é falsa (contradição para
; contraexemplo ). - III é verdadeira (simplifica para
, indeterminação).
Logo apenas a afirmação III é correta.
Resposta
c) apenas III