Questão 25. Analise as afirmações:
I - 0,232323… e 0,121121112… são números racionais
II - Se a e b, ambos positivos, são tais que a<b, então \mathrm{b}^{2}>\mathrm{a}^{2}>\mathrm{a}.
III -\frac{\frac{2}{\sqrt[3]{2}}-2^{2 / 3}}{2^{3} \cdot 3^{3}-\frac{1}{6^{-3}}} é uma indeterminação
Qual(is) é(são) correta(s)?
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas III
d) duas delas

Passo 1

O enunciado pede que eu analise a veracidade das três afirmações abaixo e escolha qual(is) é(são) correta(s). As afirmações são:
I - 0,232323\ldots e 0,121121112\ldots são números racionais.
II - Se a e b, ambos positivos, são tais que a<b, então b^{2}>a^{2}>a.
III - -\dfrac{\dfrac{2}{\sqrt[3]{2}}-2^{2/3}}{2^{3}\cdot 3^{3}-\dfrac{1}{6^{-3}}} é uma indeterminação.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as três afirmações acima (preciso decidir verdade/falsidade) e as opções de resposta (a) apenas I, (b) apenas II, (c) apenas III, (d) duas delas. A resolução começa agora.

Passo 2

Entendendo e testando a parte da afirmação I — conceito importante: um número é racional se, e somente se, a sua representação decimal é finita ou periódica (eventualmente periódica). Isso significa que, depois de algum ponto, os dígitos repetem-se com um período fixo. Vou analisar cada decimal dado.

Passo 3

Analisando 0,232323\ldots. Aqui vemos um período óbvio: os dígitos “23” repetem-se infinitamente. Um número decimal com repetição periódica é racional. Para consolidar, transformo em fração usando o método clássico: seja x=0,232323\ldots. Multiplicando por 100 (porque o período tem 2 dígitos) obtemos 100x=23,232323\ldots. Subtraindo,
100x-x=23,2323\ldots - 0,2323\ldots \Rightarrow 99x=23.
Logo
x=\dfrac{23}{99}.
Portanto 0,232323\ldots é racional. (Aqui expliquei como transformar repetição em fração: multiplicar por potência de 10 igual ao comprimento do período, subtrair e resolver.)

Passo 4

Analisando 0,121121112\ldots. Primeiro preciso identificar o padrão: os termos aparecem como
0,\,1\,2\,1\,1\,2\,1\,1\,1\,2\,\ldots
ou seja, parece que aparecem blocos com um número crescente de algarismos “1” seguidos de um “2”: “12”, “112”, “1112”, “11112”, etc. Esse padrão significa que o número tem blocos de k vezes o dígito 1 seguidos por um 2, com k crescendo indefinidamente. Vou mostrar por que isso impede periodicidade.

Passo 5

Argumento para mostrar que 0,121121112\ldots não é periódico (logo não é racional). Se a expansão fosse periódica com período p, existiria um ponto a partir do qual os dígitos repetem-se em blocos de tamanho p continuamente. Mas no nosso número os comprimentos dos blocos de 1’s aumentam sem limite: existe um bloco com p+1 uns consecutivos (basta ir suficientemente à frente na expansão). Esse bloco com p+1 uns não pode ser obtido por repetição de um padrão de tamanho p que se repete eternamente (pois um padrão finito não produz blocos de 1s com comprimento arbitrariamente grande). Logo a expansão não é eventual e não tem período fixo. Portanto o decimal não é periódico e, por consequência, não é racional. Conclusão: 0,121121112\ldots é irracional.

Passo 6

Conclusão parcial sobre I: a primeira parte 0,232323\ldots é racional, mas a segunda 0,121121112\ldots não é racional. A afirmação I diz que ambos são racionais — isso é falso.

Passo 7

Agora a afirmação II. Primeiro relembre: para a,b>0 com a<b temos sempre a^{2}<b^{2} porque a função f(x)=x^{2} é crescente quando x>0 (derivada f'(x)=2x>0 para x>0). Assim a parte b^{2}>a^{2} é correta. O problema é a segunda desigualdade proposta, a^{2}>a. Vou comparar a^{2} e a.

Passo 8

Analise de a^{2} versus a: observe que
a^{2}-a = a(a-1).
  • Se a>1, então a-1>0 e a(a-1)>0, logo a^{2}>a.
  • Se 0<a<1, então a-1<0 e a(a-1)<0, logo a^{2}<a.
    Portanto a^{2}>a nem sempre ocorre; depende se a é maior ou menor que 1.

Passo 9

Contraexemplo simples que mostra a afirmação II é falsa: escolha a=\dfrac{1}{2} e b=1. Então 0<a<b verdade, mas
a^{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2}=a,
logo a^{2}>a é falso neste caso. Assim a afirmação II é falsa.

Passo 10

Agora a afirmação III. Vou simplificar o numerador e o denominador separadamente, usando regras de expoentes: \sqrt[3]{2}=2^{1/3} e 2^{p}/2^{q}=2^{p-q}, além de x^{-n}=1/x^{n} e 1/(x^{-n})=x^{n}.

Passo 11

Simplificando o numerador:
\frac{2}{\sqrt[3]{2}}-2^{2/3}=\frac{2}{2^{1/3}}-2^{2/3}.
Usando potências de base 2,
\frac{2}{2^{1/3}}=2^{1}\cdot 2^{-1/3}=2^{1-1/3}=2^{2/3}.
Assim o numerador fica
2^{2/3}-2^{2/3}=0.

Passo 12

Simplificando o denominador:
2^{3}\cdot 3^{3}-\frac{1}{6^{-3}}.
Primeiro 2^{3}\cdot 3^{3}=(2\cdot 3)^{3}=6^{3}=216.
Segundo 6^{-3}=\dfrac{1}{6^{3}}=\dfrac{1}{216}, então
\frac{1}{6^{-3}}=\frac{1}{1/216}=216.
Logo o denominador é
216-216=0.

Passo 13

Portanto a expressão total é da forma -\dfrac{0}{0}. Em aritmética isso é uma indeterminação (expressão sem valor definido), e em análise é chamada de forma indeterminada 0/0. Assim a afirmação III, que diz que a expressão é uma indeterminação, é verdadeira.

Passo 14

Resumo lógico dos resultados:
  • I é falsa (primeiro número racional, segundo não).
  • II é falsa (contradição para 0<a<1; contraexemplo a=\tfrac{1}{2},b=1).
  • III é verdadeira (simplifica para -\dfrac{0}{0}, indeterminação).
Logo apenas a afirmação III é correta.

Resposta

c) apenas III

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