Questão 15 (0.5 ponto)

Um foguete é lançado verticalmente de uma base de lançamento. Um espectador está localizado a 12.000 pés da base. No instante em que a distância do espectador ao foguete é de 13.000 pés e está aumentando a uma taxa de 480 pés/s, qual é a velocidade do foguete?
(a) 480 pés / \mathrm{s}
(b) 500 pés / \mathrm{s}
(c) 1248 pés/s
(d) 1300 pés/s
(e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a velocidade do foguete no instante em que a distância do espectador ao foguete está aumentando a uma taxa dada. Dados fornecidos:
  • A distância horizontal fixa do espectador até a base de lançamento é 12000 pés.
  • A distância do espectador ao foguete (a hipotenusa do triângulo) naquele instante é 13000 pés.
  • Essa distância está aumentando a uma taxa de 480 pés/s (ou seja, a derivada temporal dessa distância é 480 pés/s).
  • Pergunta: qual é a velocidade vertical do foguete (em pés/s) naquele instante?

Passo 2

Definimos variáveis para modelar o problema:
  • Seja x a distância horizontal do espectador até a base (constante): x=12000 pés.
  • Seja y(t) a altura do foguete acima da base, variável no tempo, em pés.
  • Seja r(t) a distância do espectador ao foguete (a hipotenusa), em pés.
    No instante considerado sabemos \,r=13000 e \dfrac{dr}{dt}=480 pés/s. Queremos \dfrac{dy}{dt} nesse instante.

Passo 3

Relacionamento geométrico (triângulo retângulo) entre as três medidas:
r^{2} = x^{2} + y^{2}.
Expliquei: isso vem do Teorema de Pitágoras, porque a base, a altura e a linha de visão formam um triângulo retângulo.

Passo 4

Derivamos a equação acima em relação ao tempo t. Ao derivar \,r^{2} usamos a regra da cadeia (derivada de r^{2} é 2r vezes \dfrac{dr}{dt}); x é constante então sua derivada é zero; derivada de y^{2} é 2y\,\dfrac{dy}{dt}. Assim:
2r\frac{dr}{dt} = 2y\frac{dy}{dt}.
As duas multiplicações por 2 podem ser canceladas.

Passo 5

Isolando \dfrac{dy}{dt} obtemos:
\frac{dy}{dt} = \frac{r}{y}\,\frac{dr}{dt}.
Interpretação: a velocidade vertical é a velocidade da linha de visão escalada pela razão r/y.

Passo 6

Precisamos do valor de y no instante em que r=13000. Usando Pitágoras com x=12000 (valor dado) e r=13000 (valor dado):
y = \sqrt{r^{2}-x^{2}} = \sqrt{13000^{2}-12000^{2}}.
Calculemos: 13000^{2}=169000000 e 12000^{2}=144000000. A diferença é 25000000. Portanto
y = \sqrt{25000000}=5000\\ \text{pés}.é
Observação útil: isso é um triângulo 5-12-13 escalado por 1000, por isso y=5000.

Passo 7

Substituímos os valores em \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{r}{y}\dfrac{dr}{dt}:
\frac{dy}{dt} = \frac{13000}{5000}\cdot 480.
Simplificando: \dfrac{13000}{5000}=\dfrac{13}{5} e 480\div 5=96, então
\frac{dy}{dt} = 13\cdot 96 = 1248\\ \text{pés/s}.é
O sinal positivo indica que a altura está aumentando (faz sentido: o foguete sobe).

Passo 8

Concluímos que a velocidade vertical do foguete naquele instante é 1248 pés/s. Isso corresponde à alternativa (c).

Resposta

(c) 1248\\ \text{pés/s}é

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