Questão 15 (0.5 ponto)
Um foguete é lançado verticalmente de uma base de lançamento. Um espectador está localizado a 12.000 pés da base. No instante em que a distância do espectador ao foguete é de 13.000 pés e está aumentando a uma taxa de 480 pés/s, qual é a velocidade do foguete?
(a) 480 pés
(b) 500 pés
(c) 1248 pés/s
(d) 1300 pés/s
(e) Nenhuma das anteriores
(a) 480 pés
(b) 500 pés
(c) 1248 pés/s
(d) 1300 pés/s
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a velocidade do foguete no instante em que a distância do espectador ao foguete está aumentando a uma taxa dada. Dados fornecidos:
- A distância horizontal fixa do espectador até a base de lançamento é
pés. - A distância do espectador ao foguete (a hipotenusa do triângulo) naquele instante é
pés. - Essa distância está aumentando a uma taxa de
pés/s (ou seja, a derivada temporal dessa distância é pés/s). - Pergunta: qual é a velocidade vertical do foguete (em pés/s) naquele instante?
Passo 2
Definimos variáveis para modelar o problema:
- Seja
a distância horizontal do espectador até a base (constante): pés. - Seja
a altura do foguete acima da base, variável no tempo, em pés. - Seja
a distância do espectador ao foguete (a hipotenusa), em pés.
No instante considerado sabemose pés/s. Queremos nesse instante.
Passo 3
Relacionamento geométrico (triângulo retângulo) entre as três medidas:
Expliquei: isso vem do Teorema de Pitágoras, porque a base, a altura e a linha de visão formam um triângulo retângulo.
Passo 4
Derivamos a equação acima em relação ao tempo
. Ao derivar
usamos a regra da cadeia (derivada de
é
vezes
);
é constante então sua derivada é zero; derivada de
é
. Assim:
As duas multiplicações por
podem ser canceladas.
Passo 5
Isolando
obtemos:
Interpretação: a velocidade vertical é a velocidade da linha de visão escalada pela razão
.
Passo 6
Precisamos do valor de
no instante em que
. Usando Pitágoras com
(valor dado) e
(valor dado):
Calculemos:
e
. A diferença é
. Portanto
Observação útil: isso é um triângulo 5-12-13 escalado por
, por isso
.
Passo 7
Substituímos os valores em
:
Simplificando:
e
, então
O sinal positivo indica que a altura está aumentando (faz sentido: o foguete sobe).
Passo 8
Concluímos que a velocidade vertical do foguete naquele instante é
pés/s. Isso corresponde à alternativa (c).
Resposta
(c)