Questão 8 (0.5 ponto)
Estude a concavidade, convexidade e pontos de inflexão da função
. Qual das alternativas descreve corretamente os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade?
(a) Pontos de inflexão:
e
; Côncava para cima em (
) e côncava para baixo em
(b) Pontos de inflexão:
e
; Côncava para cima em
e
e côncava para baixo em
(c) Pontos de inflexão:
e
; Côncava para cima em (
) e côncava para baixo em
(d) Pontos de inflexão:
; Côncava para cima em (
) e côncava para baixo em (
)
(e) Nenhuma das anteriores
(a) Pontos de inflexão:
(b) Pontos de inflexão:
(c) Pontos de inflexão:
(d) Pontos de inflexão:
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu estude a concavidade, convexidade (mesma coisa: concavidade para cima) e os pontos de inflexão.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função
está explicitamente fornecida. - Preciso identificar os intervalos onde
é côncava para cima e côncava para baixo. - Preciso identificar os pontos de inflexão (pontos onde a concavidade muda).
Passo 2
Conceito importante (aula rápida e prática): concavidade e pontos de inflexão via derivadas.
- Se a segunda derivada
num intervalo, a curva é côncava para cima ali. - Se
num intervalo, a curva é côncava para baixo ali. - Um ponto
é ponto de inflexão se ou é indefinida em e houver mudança de sinal de ao passar por . Ou seja, a concavidade antes e depois de é diferente.
Passo 3
Vou calcular a primeira derivada
. Derivando termo a termo:
Derivadas básicas:
,
. Assim,
Passo 4
Agora calculo a segunda derivada
derivando
:
Portanto
Passo 5
Fatoro
para encontrar raízes mais facilmente. Coloco fator comum
(ou
); aqui escolho
:
O polinômio quadrático
fatoriza como
. Assim
Passo 6
Encontro onde
: as raízes são as do produto
, logo
Esses são candidatos a pontos de inflexão — agora preciso verificar se há troca de sinal de
nesses pontos.
Passo 7
Faço o estudo de sinais de
nos intervalos delimitados por
e
:
,
e
. Lembre que o fator constante
é negativo, então o sinal final é o oposto do sinal de
.
Testo um valor em cada intervalo:
-
Para
: e . Produto . Multiplicando por dá . Conclusão: em ⇒ côncava para baixo. -
Para
: e . Produto . Multiplicando por dá . Conclusão: em ⇒ côncava para cima. -
Para
: e . Produto . Multiplicando por dá . Conclusão: em ⇒ côncava para baixo.
Passo 8
Como o sinal de
muda de negativo para positivo ao passar por
(de côncava para baixo para côncava para cima) e muda de positivo para negativo ao passar por
(de côncava para cima para côncava para baixo), ambos os pontos
e
são pontos de inflexão reais.
Passo 9
Resumo final do estudo de concavidade:
- Pontos de inflexão:
e . -
é côncava para cima em . -
é côncava para baixo em .
Resposta
(a) Pontos de inflexão:
e
; Côncava para cima em
e côncava para baixo em