Questão 8 (0.5 ponto)

Estude a concavidade, convexidade e pontos de inflexão da função f(x)=x+36 x^{2}-2 x^{3}-x^{4}. Qual das alternativas descreve corretamente os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade?
(a) Pontos de inflexão: x=-3 e x=2; Côncava para cima em ( -3,2 ) e côncava para baixo em (-\infty,-3) \cup(2, \infty)
(b) Pontos de inflexão: x=0 e x=2; Côncava para cima em (-\infty, 0) e (2, \infty) e côncava para baixo em (0,2)
(c) Pontos de inflexão: x=3 e x=-2; Côncava para cima em ( -2,3 ) e côncava para baixo em (-\infty,-2) \cup(3, \infty)
(d) Pontos de inflexão: x=0; Côncava para cima em ( -\infty, 0 ) e côncava para baixo em ( 0, \infty )
(e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x+36x^{2}-2x^{3}-x^{4}
e pede que eu estude a concavidade, convexidade (mesma coisa: concavidade para cima) e os pontos de inflexão.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função f está explicitamente fornecida.
  • Preciso identificar os intervalos onde f é côncava para cima e côncava para baixo.
  • Preciso identificar os pontos de inflexão (pontos onde a concavidade muda).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática): concavidade e pontos de inflexão via derivadas.
  • Se a segunda derivada f''(x)>0 num intervalo, a curva é côncava para cima ali.
  • Se f''(x)<0 num intervalo, a curva é côncava para baixo ali.
  • Um ponto x=c é ponto de inflexão se f''\text{(c)}=0 ou f'' é indefinida em c e houver mudança de sinal de f'' ao passar por c. Ou seja, a concavidade antes e depois de c é diferente.

Passo 3

Vou calcular a primeira derivada f'(x). Derivando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(36x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(-2x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(-x^{4}\bigr).
Derivadas básicas: \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}. Assim,
f'(x)=1+72x-6x^{2}-4x^{3}.

Passo 4

Agora calculo a segunda derivada f''(x) derivando f'(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1+72x-6x^{2}-4x^{3}\bigr)=0+72-12x-12x^{2}.
Portanto
f''(x)=72-12x-12x^{2}.

Passo 5

Fatoro f''(x) para encontrar raízes mais facilmente. Coloco fator comum -12 (ou 12); aqui escolho -12:
f''(x)=-12\bigl(x^{2}+x-6\bigr).
O polinômio quadrático x^{2}+x-6 fatoriza como (x+3)(x-2). Assim
f''(x)=-12(x+3)(x-2).

Passo 6

Encontro onde f''(x)=0: as raízes são as do produto (x+3)(x-2)=0, logo
x=-3\quad\text{e}\quad x=2.
Esses são candidatos a pontos de inflexão — agora preciso verificar se há troca de sinal de f'' nesses pontos.

Passo 7

Faço o estudo de sinais de f''(x)=-12(x+3)(x-2) nos intervalos delimitados por -3 e 2: (-\infty,-3), (-3,2) e (2,\infty). Lembre que o fator constante -12 é negativo, então o sinal final é o oposto do sinal de (x+3)(x-2).
Testo um valor em cada intervalo:
  • Para x=-4\in(-\infty,-3): (x+3)= -1 e (x-2)=-6. Produto (x+3)(x-2)=(-1)\cdot(-6)=+6. Multiplicando por -12 f''(-4)=-12\cdot 6<0. Conclusão: em (-\infty,-3) f''(x)<0 ⇒ côncava para baixo.
  • Para x=0\in(-3,2): (x+3)=3 e (x-2)=-2. Produto 3\cdot(-2)=-6. Multiplicando por -12 f''(0)=-12\cdot(-6)=+72>0. Conclusão: em (-3,2) f''(x)>0 ⇒ côncava para cima.
  • Para x=3\in(2,\infty): (x+3)=6 e (x-2)=1. Produto 6\cdot1=6. Multiplicando por -12 f''(3)=-72<0. Conclusão: em (2,\infty) f''(x)<0 ⇒ côncava para baixo.

Passo 8

Como o sinal de f'' muda de negativo para positivo ao passar por x=-3 (de côncava para baixo para côncava para cima) e muda de positivo para negativo ao passar por x=2 (de côncava para cima para côncava para baixo), ambos os pontos x=-3 e x=2 são pontos de inflexão reais.

Passo 9

Resumo final do estudo de concavidade:
  • Pontos de inflexão: x=-3 e x=2.
  • f é côncava para cima em (-3,2).
  • f é côncava para baixo em (-\infty,-3)\cup(2,\infty).

Resposta

(a) Pontos de inflexão: x=-3 e x=2; Côncava para cima em (-3,2) e côncava para baixo em (-\infty,-3)\cup(2,\infty)

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