Questão 7 (0.5 ponto)

Para cada uma das seguintes funções, verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio são satisfeitas e determine o valor c garantido pelo Teorema no intervalo indicado.
(A) f(x)=3 x^{2}+4 x-3 no intervalo [1,4].
(B) g(x)=x^{3}-3 x^{2}+3 x+2 no intervalo [-3,3].
Alternativas:
(a) (A) c=\frac{11}{3}, \quad(B) c=1
(b) (A) c=2, \quad(B) c=-1
(c) (A) c=\frac{5}{2}, \quad(B) c=0
(d) (A) c=3, \quad(B) c=2
(e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede, para cada função, que verifiquemos se as hipóteses do Teorema do Valor Médio (MVT) são satisfeitas no intervalo indicado e, se satisfeitas, que encontremos um valor c (no intervalo aberto) tal que a derivada no ponto c seja igual à taxa média de variação da função no intervalo.
Informações dadas:
  • (A) f(x)=3x^{2}+4x-3 no intervalo [1,4].
  • (B) g(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+2 no intervalo [-3,3].
    Alternativas de resposta múltipla listadas (vou comparar no final com o que eu encontrar).

Passo 2

Explicação didática do Teorema do Valor Médio (MVT) e verificação das hipóteses:
  • O MVT diz: se uma função h é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que
h'\text{(c)}=\frac{h(b)-h(a)}{b-a}.
  • Continuidade em [a,b] significa que não há “saltos” ou “buracos” no intervalo fechado; diferenciabilidade em (a,b) significa que a derivada existe em todo ponto do intervalo aberto (sem cantos, pontas).
  • Observação prática importante: polinômios são funções que são contínuas e diferenciáveis em todo \mathbb{R}. Isso significa que, para ambas as funções dadas (sendo polinômios), as hipóteses do MVT estão automaticamente satisfeitas em qualquer intervalo real. Logo podemos aplicar o MVT em (A) e em (B).

Passo 3

Aplicando o MVT ao item (A). Primeiro calculamos a taxa média de variação e a derivada:
  • Calculemos f(4) e f(1).
f(4)=3\cdot 4^{2}+4\cdot 4-3=3\cdot16+16-3=48+16-3=61.
f(1)=3\cdot 1^{2}+4\cdot 1-3=3+4-3=4.
  • Taxa média de variação (declive médio) em [1,4]:
\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{61-4}{3}=\frac{57}{3}=19.
  • Derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2}+4x-3)=6x+4.
  • Pelo MVT deve existir c\in(1,4) tal que f'\text{(c)}=19. Resolver:
6c+4=19 \Rightarrow 6c=15 \Rightarrow c=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}.
  • Verificação: \frac{5}{2}=2{,}5 está em (1,4), então é uma solução válida. Portanto para (A) o valor garantido pelo MVT que encontramos é c=\frac{5}{2}.

Passo 4

Aplicando o MVT ao item (B). Novamente calculamos a taxa média e a derivada:
  • Calculemos g(3) e g(-3). (Peguei esses valores diretamente do enunciado da função e dos extremos do intervalo.)
g(3)=3^{3}-3\cdot 3^{2}+3\cdot 3+2=27-27+9+2=11.
g(-3)=(-3)^{3}-3\cdot(-3)^{2}+3\cdot(-3)+2=-27-27-9+2=-61.
  • Taxa média de variação em [-3,3]:
\frac{g(3)-g(-3)}{3-(-3)}=\frac{11-(-61)}{6}=\frac{72}{6}=12.
  • Derivada de g:
g'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3}-3x^{2}+3x+2)=3x^{2}-6x+3.
  • Simplificando a derivada observamos que é um quadrado multiplicado por 3:
g'(x)=3(x^{2}-2x+1)=3(x-1)^{2}.
  • Pelo MVT deve existir c\in(-3,3) tal que g'\text{(c)}=12. Resolver:
3(c-1)^{2}=12 \Rightarrow (c-1)^{2}=4 \Rightarrow c-1=\pm 2.
As soluções algébricas são
c=1+2=3 \quad\text{ou}\quad c=1-2=-1.
  • Importante: o MVT garante um c no intervalo aberto (-3,3). A solução c=3 é exatamente o extremo direito do intervalo e, portanto, não pertence ao intervalo aberto (-3,3); não é um c que o MVT pode garantir (também a derivada estar definida no extremo não conta: precisa ser no interior). Já c=-1 pertence a (-3,3). Assim a solução válida garantida pelo MVT é c=-1.
  • Observação adicional: algebraicamente apareceu c=3 e c=-1, mas apenas c=-1 é aceitável como a garantia do Teorema porque deve ficar no intervalo aberto. Portanto para (B) o valor garantido é c=-1.

Passo 5

Resumo das soluções encontradas e comparação com as alternativas: para (A) obtivemos c=\frac{5}{2} e para (B) obtivemos c=-1. Nenhuma das alternativas listadas combina com o par \big(\tfrac{5}{2},-1\big); portanto a alternativa correta entre as dadas é a alternativa (e) “Nenhuma das anteriores”.

Resposta

(A) c=\frac{5}{2}
(B) c=-1
Alternativa: (e)

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