Questão 7 (0.5 ponto)
Para cada uma das seguintes funções, verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio são satisfeitas e determine o valor
garantido pelo Teorema no intervalo indicado.
(A)
no intervalo
.
(B)
no intervalo
.
Alternativas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das anteriores
(A)
(B)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado pede, para cada função, que verifiquemos se as hipóteses do Teorema do Valor Médio (MVT) são satisfeitas no intervalo indicado e, se satisfeitas, que encontremos um valor
(no intervalo aberto) tal que a derivada no ponto
seja igual à taxa média de variação da função no intervalo.
Informações dadas:
Informações dadas:
- (A)
no intervalo . - (B)
no intervalo .
Alternativas de resposta múltipla listadas (vou comparar no final com o que eu encontrar).
Passo 2
Explicação didática do Teorema do Valor Médio (MVT) e verificação das hipóteses:
- O MVT diz: se uma função
é contínua em e diferenciável em , então existe pelo menos um ponto tal que
- Continuidade em
significa que não há “saltos” ou “buracos” no intervalo fechado; diferenciabilidade em significa que a derivada existe em todo ponto do intervalo aberto (sem cantos, pontas). - Observação prática importante: polinômios são funções que são contínuas e diferenciáveis em todo
. Isso significa que, para ambas as funções dadas (sendo polinômios), as hipóteses do MVT estão automaticamente satisfeitas em qualquer intervalo real. Logo podemos aplicar o MVT em (A) e em (B).
Passo 3
Aplicando o MVT ao item (A). Primeiro calculamos a taxa média de variação e a derivada:
- Calculemos
e .
- Taxa média de variação (declive médio) em
:
- Derivada de
:
- Pelo MVT deve existir
tal que . Resolver:
- Verificação:
está em , então é uma solução válida. Portanto para (A) o valor garantido pelo MVT que encontramos é .
Passo 4
Aplicando o MVT ao item (B). Novamente calculamos a taxa média e a derivada:
- Calculemos
e . (Peguei esses valores diretamente do enunciado da função e dos extremos do intervalo.)
- Taxa média de variação em
:
- Derivada de
:
- Simplificando a derivada observamos que é um quadrado multiplicado por
:
- Pelo MVT deve existir
tal que . Resolver:
As soluções algébricas são
- Importante: o MVT garante um
no intervalo aberto . A solução é exatamente o extremo direito do intervalo e, portanto, não pertence ao intervalo aberto ; não é um que o MVT pode garantir (também a derivada estar definida no extremo não conta: precisa ser no interior). Já pertence a . Assim a solução válida garantida pelo MVT é . - Observação adicional: algebraicamente apareceu
e , mas apenas é aceitável como a garantia do Teorema porque deve ficar no intervalo aberto. Portanto para (B) o valor garantido é .
Passo 5
Resumo das soluções encontradas e comparação com as alternativas: para (A) obtivemos
e para (B) obtivemos
. Nenhuma das alternativas listadas combina com o par
; portanto a alternativa correta entre as dadas é a alternativa (e) “Nenhuma das anteriores”.
Resposta
(A)
(B)
Alternativa: (e)
(B)
Alternativa: (e)