Questão 1 (15 pontos): Considere a região
caracterizada por
e
. O campo
total nessa região é dado como a soma de uma onda positiva e uma onda negativa,
Determine:
(a) A frequencia de operação do sinal (3 pontos)
(b) A impedância intrínseca da região
. (4 pontos)
(c) Considere que a região
tenha
. Determine a condutividade
e permissividade relativa
dessa região. (4 pontos)
(d) O campo elétrico e o campo magnético (módulo e ângulo) para
. (4 pontos)
(a) A frequencia de operação do sinal (3 pontos)
(b) A impedância intrínseca da região
(c) Considere que a região
(d) O campo elétrico e o campo magnético (módulo e ângulo) para
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei os valores diretamente do enunciado).
- Informações dadas (peguei do enunciado):
- Na região
: , . - O campo elétrico total nessa região é
Aqui os termos são uma onda viajando no sentido positivo de (provavelmente a que tem ) e uma refletida (com ).
- Na região
- Perguntas:
(a) Determinar a frequência de operação do sinal.
(b) Determinar a impedância intrínseca da região.
(c) Admitindo que na regiãovale , determinar a condutividade e a permissividade relativa dessa região.
(d) Calcular o campo elétrico e o campo magnético (módulo e ângulo) em(isto é, em , na região ).
Passo 2
Encontrar a frequência: identificar o número de onda
da expressão.
- Do enunciado aparece o fator
e ; portanto o número de onda é - Em vácuo (região
com ) vale onde é a velocidade da luz . - Logo
- A frequência em Hz é
Comentários rápidos (mini-aula):
é o número de onda (rad/m). Em meios não dispersivos sem perdas
. Em vácuo
, por isso
.
Passo 3
Determinar a impedância intrínseca da região
usando os coeficientes de reflexão.
- Identificar amplitudes no plano
: - Amplitude da onda incidente (assumo a onda com
como incidente vindo de ): (tomada como referência com ângulo ). - Amplitude da onda refletida:
.
- Amplitude da onda incidente (assumo a onda com
- O coeficiente de reflexão (no ponto
) é Em forma cartesiana: - A relação entre
e as impedâncias intrínsecas (para incidência normal) é onde é a impedância do meio de onde vem a onda ( ) e a impedância do meio . - Resolvendo para
: - Na região
temos vácuo, então . Agora calculamos numericamente: Multiplicando por (usei ): - Podemos também dar módulo e ângulo:
Mini-aula: a fórmula
vem da continuidade das componentes tangenciais de
e
no limite
. Invertendo essa relação obtém-se a expressão usada para
.
Passo 4
Determinar
e
da região
sabendo
e usando
.
- Fórmula da impedância intrínseca em meio condutor/dielétrico:
Elevando ao quadrado: Reorganizando: - Escrevendo
(com reais) e desenvolvendo a divisão, obtemos Assim: e daí - Vamos calcular numericamente:
- Primeiro
(do passo anterior). Então Calculando: - Constantes físicas e frequência:
- Calcular
: Usando os números (apresentei arredondados na conta) obtém-se - Calcular
: Como ,
- Primeiro
Mini-aula: o raciocínio chave é isolar
da expressão de
. A parte real dessa quantidade é
e a parte imaginária é
. Cuidado com aritmética complexa mas a ideia é direta.
Passo 5
Calcular o campo elétrico transmitido em
(região
).
- Condição de fronteira em
: o campo tangencial elétrico é contínuo, então a amplitude do campo transmitido no é Em forma cartesiana: Módulo e ângulo: - O campo transmitido no meio 2 propaga com constante de propagação
: Calculando numericamente (usando os obtidos) obtém-se Observação: o valor de está próximo do valor esperado . - O campo elétrico em
(para a onda transmitida, que viaja em ) é Para : Com e , tem-se e . - Multiplicando
pela atenuação e rotação de fase: Portanto módulo e ângulo:
Comentários: o módulo diminuiu por
e a fase avançou em
.
Passo 6
Calcular o campo magnético em
.
- Para onda plana que propaga em
com em , o campo magnético é pois e . - Em termos de módulo e ângulo:
- Usando
e , E o ângulo: - Direção:
está na direção (positivo se tomarmos consistente com a regra da mão direita).
Pequeno reforço: ao dividir campos complexos, o módulo divide e o argumento subtrai. Aqui H segue a mesma dependência exponencial de
que
.
Resposta
(a)
,
.\n
(b)
.\n
(c) \n
(d) módulo
, ângulo
(direção
).\n
módulo
, ângulo
(direção
).
(b)
(c)
(d)