Questão 1 (15 pontos): Considere a região \mathrm{z}<0 caracterizada por \mu \mathrm{r}=1 e \varepsilon \mathrm{r}=1. O campo \mathbf{E} total nessa região é dado como a soma de uma onda positiva e uma onda negativa,
\vec{E}=150 e^{-j 10 z} \hat{x}+50 \angle 0,349 \mathrm{rad} e^{j 10 z} \hat{x}
Determine:
(a) A frequencia de operação do sinal (3 pontos)
(b) A impedância intrínseca da região \mathrm{z}>0. (4 pontos)
(c) Considere que a região \mathrm{z}>0 tenha \mu \mathrm{r}=8. Determine a condutividade \sigma e permissividade relativa \varepsilon \mathrm{r} dessa região. (4 pontos)
(d) O campo elétrico e o campo magnético (módulo e ângulo) para \mathrm{z}=0,02 \mathrm{~m}. (4 pontos)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei os valores diretamente do enunciado).
  • Informações dadas (peguei do enunciado):
    • Na região \mathrm{z}<0: \mu_{r}=1, \varepsilon_{r}=1.
    • O campo elétrico total nessa região é \vec{E}=150\,e^{-j 10 z}\,\hat{x}+50\angle 0,349\\ \mathrm{rad}\; e^{j 10 z}\,\hat{x}.Aqui os termos são uma onda viajando no sentido positivo de z (provavelmente a que tem e^{-j10z}) e uma refletida (com e^{j10z}).
  • Perguntas:
    (a) Determinar a frequência de operação do sinal.
    (b) Determinar a impedância intrínseca da região \mathrm{z}>0.
    (c) Admitindo que na região \mathrm{z}>0 vale \mu_{r}=8, determinar a condutividade \sigma e a permissividade relativa \varepsilon_{r} dessa região.
    (d) Calcular o campo elétrico e o campo magnético (módulo e ângulo) em \mathrm{z}=0,02\\ \mathrm{m} (isto é, em z=2\\ \mathrm{cm}, na região \mathrm{z}>0).

Passo 2

Encontrar a frequência: identificar o número de onda \beta da expressão.
  • Do enunciado aparece o fator e^{-j 10 z} e e^{j 10 z}; portanto o número de onda é \beta = 10\quad\text{(rad/m).}
  • Em vácuo (região \mathrm{z}<0 com \mu_{r}=1,\\ \varepsilon_{r}=1) vale \beta = \omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}=\frac{\omega}{c},onde c é a velocidade da luz c\approx 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Logo \omega=\beta c=10\cdot 3\times10^{8}=3{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
  • A frequência em Hz é f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3{,}0\times10^{9}}{2\pi}\approx 4{,}7746\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}=477{,}46\\ \mathrm{MHz}.
Comentários rápidos (mini-aula): \beta é o número de onda (rad/m). Em meios não dispersivos sem perdas \beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}. Em vácuo \sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=1/c, por isso \beta=\omega/c.

Passo 3

Determinar a impedância intrínseca da região \mathrm{z}>0 usando os coeficientes de reflexão.
  • Identificar amplitudes no plano z=0:
    • Amplitude da onda incidente (assumo a onda com e^{-j10z} como incidente vindo de z<0): E_{\mathrm{inc}}=150 (tomada como referência com ângulo 0).
    • Amplitude da onda refletida: E_{\mathrm{ref}}=50\angle 0{,}349\\ \mathrm{rad}.
  • O coeficiente de reflexão (no ponto z=0) é \Gamma=\frac{E_{\mathrm{ref}}(0)}{E_{\mathrm{inc}}(0)}=\frac{50\angle 0{,}349}{150}=\frac{1}{3}\angle 0{,}349.Em forma cartesiana: \Gamma\approx 0{,}313231 + j\,0{,}114007.
  • A relação entre \Gamma e as impedâncias intrínsecas (para incidência normal) é \Gamma=\frac{\eta_{2}-\eta_{1}}{\eta_{2}+\eta_{1}},onde \eta_{1} é a impedância do meio de onde vem a onda ( \mathrm{z}<0) e \eta_{2} a impedância do meio \mathrm{z}>0.
  • Resolvendo para \eta_{2}: \eta_{2}=\eta_{1}\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}.
  • Na região \mathrm{z}<0 temos vácuo, então \eta_{1}=\eta_{0}\approx 377\\ \Omega. Agora calculamos numericamente: \frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}\approx 1{,}834330 + j\,0{,}469391.Multiplicando por \eta_{0} (usei \eta_{0}\approx 377\\ \Omega): \eta_{2}\approx 377\,(1{,}834330 + j\,0{,}469391)\approx 691{,}72 + j\,176{,}95\\ \Omega.
  • Podemos também dar módulo e ângulo: |\eta_{2}|\approx 713{,}8\\ \Omega,\qquad \angle\eta_{2}\approx 0{,}2506\\ \mathrm{rad}.
Mini-aula: a fórmula \Gamma=(\eta_2-\eta_1)/(\eta_2+\eta_1) vem da continuidade das componentes tangenciais de E e H no limite z=0. Invertendo essa relação obtém-se a expressão usada para \eta_2.

Passo 4

Determinar \sigma e \varepsilon_{r} da região \mathrm{z}>0 sabendo \mu_{r}=8 e usando \eta_{2}.
  • Fórmula da impedância intrínseca em meio condutor/dielétrico: \eta_{2}=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon}}.Elevando ao quadrado: \eta_{2}^{2}=\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon}.Reorganizando: \sigma + j\omega\varepsilon=\frac{j\omega\mu}{\eta_{2}^{2}}.
  • Escrevendo \eta_{2}^{2}=A+jB (com A,B reais) e desenvolvendo a divisão, obtemos \frac{j\omega\mu}{A+jB}=\frac{\omega\mu B}{A^{2}+B^{2}} + j\frac{\omega\mu A}{A^{2}+B^{2}}.Assim: \sigma=\frac{\omega\mu B}{A^{2}+B^{2}},\qquad \omega\varepsilon=\frac{\omega\mu A}{A^{2}+B^{2}}e daí \varepsilon=\frac{\mu A}{A^{2}+B^{2}}.
  • Vamos calcular numericamente:
    • Primeiro \eta_{2}\approx 691{,}72 + j\,176{,}95\\ \Omega (do passo anterior). Então \eta_{2}^{2}=(691{,}72)^{2}-(176{,}95)^{2}+j\,(2\cdot 691{,}72\cdot176{,}95).Calculando: A\approx 447{,}157{,}1,\qquad B\approx 244{,}761{,}4\quad(\text{valores em }\Omega^{2}).
    • Constantes físicas e frequência: \omega=3{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s},\qquad \mu=\mu_{0}\mu_{r}=(4\pi\times10^{-7})\cdot 8\approx 1{,}00530965\times10^{-5}\\ \mathrm{H/m}.
    • Calcular \sigma: \sigma=\frac{\omega\mu B}{A^{2}+B^{2}}.Usando os números (apresentei arredondados na conta) obtém-se \sigma\approx 0{,}0284\\ \mathrm{S/m}.
    • Calcular \varepsilon: \varepsilon=\frac{\mu A}{A^{2}+B^{2}}\approx 1{,}731\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.Como \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, \varepsilon_{r}=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}\approx\frac{1{,}731\times10^{-11}}{8{,}854\times10^{-12}}\approx 1{,}95.
Mini-aula: o raciocínio chave é isolar \sigma+j\omega\varepsilon da expressão de \eta. A parte real dessa quantidade é \sigma e a parte imaginária é \omega\varepsilon. Cuidado com aritmética complexa mas a ideia é direta.

Passo 5

Calcular o campo elétrico transmitido em z=0{,}02\\ \mathrm{m} (região \mathrm{z}>0).
  • Condição de fronteira em z=0: o campo tangencial elétrico é contínuo, então a amplitude do campo transmitido no z=0^{+} é E_{\mathrm{t}}(0)=E_{\mathrm{inc}}(0)+E_{\mathrm{ref}}(0)=150 + 50\angle 0{,}349.Em forma cartesiana: E_{\mathrm{t}}(0)\approx 196{,}985 + j\,17{,}101\quad\text{(V/m, componente }\hat{x}).Módulo e ângulo: |E_{\mathrm{t}}(0)|\approx 197{,}71\\ \mathrm{V/m},\qquad \angle E_{\mathrm{t}}(0)\approx 0{,}08664\\ \mathrm{rad}.
  • O campo transmitido no meio 2 propaga com constante de propagação \gamma_{2}: \gamma_{2}=\sqrt{j\omega\mu(\sigma + j\omega\varepsilon)}.Calculando numericamente (usando os \sigma,\varepsilon,\mu,\omega obtidos) obtém-se \gamma_{2}\approx \alpha + j\beta \approx 10{,}45 + j\,41{,}0\quad\text{(Np/m + j rad/m).}Observação: o valor de \beta está próximo do valor esperado \beta_{2}\approx\beta_{1}\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}.
  • O campo elétrico em z=0{,}02\\ \mathrm{m} (para a onda transmitida, que viaja em +z) é \vec{E}(z)=E_{\mathrm{t}}(0)\,e^{-\gamma_{2} z}\,\hat{x}.Para z=0{,}02\\ \mathrm{m}: e^{-\gamma_{2} z}=e^{-(\alpha+j\beta)z}=e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}.Com \alpha z\approx 10{,}45\cdot0{,}02\approx 0{,}209 e \beta z\approx 41{,}0\cdot0{,}02\approx 0{,}82\\ \mathrm{rad}, tem-se e^{-\alpha z}\approx 0{,}811 e e^{-j\beta z}=\cos(0{,}82)-j\sin(0{,}82).
  • Multiplicando E_{\mathrm{t}}(0) pela atenuação e rotação de fase: \vec{E}(0{,}02)\approx (118{,}95 - j\,107{,}54)\\ \hat{x}\quad\text{(V/m)}.Portanto módulo e ângulo: |\vec{E}(0{,}02)|\approx 160{,}3\\ \mathrm{V/m},\qquad \angle \vec{E}(0{,}02)\approx -0{,}748\\ \mathrm{rad}.
Comentários: o módulo diminuiu por e^{-\alpha z} e a fase avançou em -\beta z.

Passo 6

Calcular o campo magnético em z=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Para onda plana que propaga em +z com \vec{E} em \hat{x}, o campo magnético é \vec{H}=\frac{1}{\eta_{2}}(\hat{k}\times\vec{E})=\frac{\vec{E}}{\eta_{2}}\\ \hat{y},pois \hat{k}=\hat{z} e \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}.
  • Em termos de módulo e ângulo: |\vec{H}|=\frac{|\vec{E}|}{|\eta_{2}|},\qquad \angle \vec{H}=\angle\vec{E}-\angle\eta_{2}.
  • Usando |\vec{E}(0{,}02)|\approx 160{,}3\\ \mathrm{V/m} e |\eta_{2}|\approx 713{,}8\\ \Omega, |\vec{H}(0{,}02)|\approx \frac{160{,}3}{713{,}8}\approx 0{,}2247\\ \mathrm{A/m}.E o ângulo: \angle \vec{H}(0{,}02)\approx -0{,}748 - 0{,}2506 \approx -0{,}999\\ \mathrm{rad}.
  • Direção: \vec{H} está na direção \hat{y} (positivo se tomarmos \hat{y} consistente com a regra da mão direita).
Pequeno reforço: ao dividir campos complexos, o módulo divide e o argumento subtrai. Aqui H segue a mesma dependência exponencial de z que E.

Resposta

(a) \omega=3{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}, \;f\approx 4{,}7746\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}=477{,}46\\ \mathrm{MHz}.\n
(b) \eta_{2}\approx 691{,}72 + j\,176{,}95\\ \Omega \;(\,|\eta_{2}|\approx 713{,}8\\ \Omega,\\ \angle\eta_{2}\approx 0{,}2506\\ \mathrm{rad}\,).\n
(c) \sigma\approx 0{,}0284\\ \mathrm{S/m},\qquad \varepsilon_{r}\approx 1{,}95.\n
(d) \vec{E}(0{,}02\,\mathrm{m}) módulo \approx 160{,}3\\ \mathrm{V/m}, ângulo \approx -0{,}748\\ \mathrm{rad} (direção \hat{x}).\n
\vec{H}(0{,}02\,\mathrm{m}) módulo \approx 0{,}2247\\ \mathrm{A/m}, ângulo \approx -0{,}999\\ \mathrm{rad} (direção \hat{y}).

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