Pela medição do deslocamento para o vermelho, da luz emitida, conclui-se que um quasar Q1 se afasta de nós com a velocidade de 0,800 \mathrm{c}. O quasar Q2, que está na mesma direção no espaço, porém mais próximo de nós, afasta-se com a velocidade de 0,400 \mathrm{c}. Que velocidade seria medida para Q2, por um observador em Q1?

Passo 1

O enunciado dá as velocidades (medidas por nós, em nosso referencial) dos dois quasars, ambos na mesma direção radial (distante de nós):
  • Quasar Q1: \,v_{1}=0,800\,c\, (afastando-se de nós).
  • Quasar Q2: \,v_{2}=0,400\,c\, (afastando-se de nós, e mais próximo do que Q1).
O que se pede: determinar a velocidade que um observador que está em Q1 mediria para Q2.

Passo 2

Por que não podemos usar subtração comum? Em velocidades relativísticas (fração significativa de \,c\,) a regra de composição de velocidades da mecânica clássica \,u'=u-v\, falha — a velocidade da luz seria ultrapassada se aplicássemos essa regra sem correção. Então usamos a fórmula relativística de transformação de velocidades para a componente na mesma direção.
Apresento a fórmula (vinda da transformação de Lorentz para velocidades): para um objeto que tem velocidade \,u\, no referencial S e um referencial S' que se move com velocidade \,v\, em relação a S (na mesma direção), a velocidade u' medida em S' é
u'=\frac{u-v}{1-\dfrac{uv}{c^{2}}}.
Explicando cada símbolo:
  • \,u\, é a velocidade do objeto no referencial original S.
  • \,v\, é a velocidade do referencial S' em relação a S.
  • \,u'\, é a velocidade do objeto medida em S'.
  • \,c\, é a velocidade da luz.
    Sinais positivos indicam a mesma direção escolhida como positiva (aqui: “afastando-se de nós”).

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: tomamos S como o nosso referencial (onde temos \,v_{1} e \,v_{2}). Queremos a velocidade de Q2 vista por um observador em Q1, isto é, a velocidade de Q2 no referencial S' que se move com Q1. Portanto:
  • u=v_{2}=0,400\,c,
  • v=v_{1}=0,800\,c.
Substituímos na fórmula:
u'=\frac{v_{2}-v_{1}}{1-\dfrac{v_{1}v_{2}}{c^{2}}}.

Passo 4

Calcule passo a passo os termos numéricos:
Numerador:
v_{2}-v_{1}=0,400\,c-0,800\,c=-0,400\,c.
Denominador:
1-\dfrac{v_{1}v_{2}}{c^{2}}=1-(0,800)(0,400)=1-0,320=0,680.
Agora a divisão:
u'=\frac{-0,400\,c}{0,680}=-\frac{0,400}{0,680}\,c.
Simplificando a fração:
\frac{0,400}{0,680}=\frac{400}{680}=\frac{40}{68}=\frac{10}{17}.
Logo
u'=-\frac{10}{17}\,c.

Passo 5

Interpretação física do sinal negativo: o sinal menos indica que, no referencial de Q1, Q2 se move na direção oposta à direção positiva escolhida (isto é, Q2 está vindo na direção de Q1 — Q1 “ultrapassou” Q2 e vê Q2 aproximando-se). O módulo da velocidade é
\left|u'\right|=\frac{10}{17}\,c\approx0,588\,c.

Resposta

-\dfrac{10}{17}\,c \approx -0,588\,c

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