Pela medição do deslocamento para o vermelho, da luz emitida, conclui-se que um quasar Q1 se afasta de nós com a velocidade de
. O quasar Q2, que está na mesma direção no espaço, porém mais próximo de nós, afasta-se com a velocidade de
. Que velocidade seria medida para Q2, por um observador em Q1?
Passo 1
O enunciado dá as velocidades (medidas por nós, em nosso referencial) dos dois quasars, ambos na mesma direção radial (distante de nós):
- Quasar Q1:
(afastando-se de nós). - Quasar Q2:
(afastando-se de nós, e mais próximo do que Q1).
O que se pede: determinar a velocidade que um observador que está em Q1 mediria para Q2.
Passo 2
Por que não podemos usar subtração comum? Em velocidades relativísticas (fração significativa de
) a regra de composição de velocidades da mecânica clássica
falha — a velocidade da luz seria ultrapassada se aplicássemos essa regra sem correção. Então usamos a fórmula relativística de transformação de velocidades para a componente na mesma direção.
Apresento a fórmula (vinda da transformação de Lorentz para velocidades): para um objeto que tem velocidade
no referencial
e um referencial
que se move com velocidade
em relação a
(na mesma direção), a velocidade
medida em
é
Explicando cada símbolo:
-
é a velocidade do objeto no referencial original . -
é a velocidade do referencial em relação a . -
é a velocidade do objeto medida em . -
é a velocidade da luz.
Sinais positivos indicam a mesma direção escolhida como positiva (aqui: “afastando-se de nós”).
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: tomamos
como o nosso referencial (onde temos
e
). Queremos a velocidade de Q2 vista por um observador em Q1, isto é, a velocidade de Q2 no referencial
que se move com Q1. Portanto:
-
, -
.
Substituímos na fórmula:
Passo 4
Calcule passo a passo os termos numéricos:
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Agora a divisão:
Simplificando a fração:
Logo
Passo 5
Interpretação física do sinal negativo: o sinal menos indica que, no referencial de Q1, Q2 se move na direção oposta à direção positiva escolhida (isto é, Q2 está vindo na direção de Q1 — Q1 “ultrapassou” Q2 e vê Q2 aproximando-se). O módulo da velocidade é