Questão 4: ( 15 pontos) Determine uma base de R^4 que contenha os vetores (1,0,2,-1) e (1,3,-1,-2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base de R^4 que já contenha os vetores
v1 = (1,0,2,-1), v2 = (1,3,-1,-2)
O conteúdo envolvido é o de independência linear e extensão de um conjunto linearmente independente a uma base de R^4.

Passo 2

Primeiro, verificamos que
Isso dá o sistema
Da segunda equação pelas outras. Logo, e são independentes.

Passo 3

Para estender v1,v2 a uma base de R^4, adicionamos dois vetores que não estejam no seu span. Escolhemos, por exemplo,
w3 = (0,1,0,0), w4 = (0,0,1,0)

Passo 4

Verificamos que
isto é,
Isso gera o sistema
Da quarta equação vem . Então e . Apenas a solução trivial, logo são independentes e formam base.

Resposta

Uma base de R^4 que contém (1,0,2,-1) e (1,3,-1,-2) é
l(1,0,2,-1),;(1,3,-1,-2),;(0,1,0,0),;(0,0,1,0)r

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