Questão 2: Considere o conjunto .
(a) (15 pontos) Mostre que gera o espaço vetorial .
(b) ( 15 pontos) é uma base de ?
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto de vetores em e pede:
(a) mostrar que gera , ou seja, que todo pode ser escrito como combinação linear desses vetores;
(b) decidir se é uma base de .
Vamos usar interpretação de combinação linear e, em seguida, argumento de número de vetores igual à dimensão (ou determinante não nulo) para independência.
Passo 2
Para (a), tomemos um vetor arbitrário e escrevamos
Isso gera o sistema de equações
Passo 3
Das duas primeiras equações subtraímos segunda da primeira:
(a+2c)-(a-3c)=x-y Longrightarrow 5c = x-y Longrightarrow c = x-y5
Substituindo em a+2c=x vem
a = x - 2c = x - 2x-y5 = 3x+2y5
Finalmente, de a - b = z obtemos
b = a - z = 3x+2y5 - z
Ou seja, para todo (x,y,z) encontramos a,b,c que satisfazem a combinação linear.
Passo 4
Como conseguimos expressar o vetor genérico (x,y,z) em função de a,b,c, concluímos que
span(beta) = R^3,
logo beta gera R^3.
Passo 5
Para (b), como temos exatamente três vetores em R^3 e já mostramos que eles geram todo o espaço, segue que eles são linearmente independentes. Alternativamente, montamos a matriz com colunas (1,1,1), (0,0,-1), (2,-3,0) e calculamos
det 1 & 0 & 2 1 & 0 & -3 1 & -1 & 0 = -5 neq 0,
o que garante independência. Portanto beta é base de R^3.
Resposta
(a) beta gera R^3.
(b) Sim, beta é uma base de R^3.