Questão 3: Sejam beta=(0,2,-1),(1,0,0),(2,0,-3) e beta^prime=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) duas bases ordenadas de R^3.
(a) (15 pontos) Encontre a matriz de mudança da base beta^prime para a base beta,[I]beta^beta^prime.
(b) (10 pontos) Utilizando a matriz obtida no item (a), encontre as coordenadas do vetor v=(5,-4,-1) em relação à base beta.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos em R^3 duas bases ordenadas
beta=v1=(0,2,-1),,v2=(1,0,0),,v3=(2,0,-3) e
beta'=e1,e2,e3 (base canônica).
(a) Queremos a matriz de mudança de base de beta' para beta, denotada [I]beta^beta'.
(b) Com essa matriz, achamos as coordenadas de v=(5,-4,-1) na base beta.

Passo 2

Construímos a matriz P cujas colunas são os vetores de beta escritos na base canônica.
P=[,v1;v2;v3] = 0 & 1 & 2 2 & 0 & 0 -1& 0 & -3
Essa matriz transforma coordenadas em beta em coordenadas canônicas.

Passo 3

Para inverter P calculamos seu determinante.
det(P) =0cdotdet!0&00&-3 -1cdotdet!2&0-1&-3 +2cdotdet!2&0-1&0 =6
Como det(P)=6neq0, P é invertível.

Passo 4

Calculamos P^-1=1det(P)adj(P). O cofator de P e sua transposta dão
P^-1 =16 0 & 3 & 0 6 & 2 & 4 0 & -1& -2 = 0 & tfrac12 & 0 1 & tfrac13 & tfrac23 0 & -tfrac16 & -tfrac13
Como [I]beta^beta' leva coordenadas da base canônica em coordenadas na base beta, temos
[I]beta^beta' ;=;P^-1 = 0 & tfrac12 & 0 1 & tfrac13 & tfrac23 0 & -tfrac16 & -tfrac13

Passo 5

Para achar [v]beta, multiplicamos [I]beta^beta' pelo vetor canônico de v:
[v]beta =P^-1,5-4-1 = 0 & tfrac12 & 0 1 & tfrac13 & tfrac23 0 & -tfrac16 & -tfrac13 5-4-1 = -2 3 1

Resposta

(a)
[I]beta^beta' = 0 & tfrac12 & 0 1 & tfrac13 & tfrac23 0 & -tfrac16 & -tfrac13
(b)
[v]beta =-231

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