2^a Questão: (15 pontos) Encontre a equação da reta tangente à curva definida implicitamente pela equação x^2+y^2=3 x y-1 no ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva dada implicitamente por
x^2+y^2=3xy-1
no ponto (1,2). Para isso, vamos usar diferenciação implícita para encontrar a derivada y'=dydx, que será a inclinação da reta nesse ponto.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando a regra da cadeia para y^2 e a regra do produto para 3xy, obtemos
ddx(x^2) + ddx(y^2) = ddx(3xy) - ddx(1)
ou seja
2x + 2y,y' = 3l(y + x,y'r) - 0
portanto
2x + 2y,y' = 3y + 3x,y'

Passo 3

Agora isolamos y'. Reagrupando termos:
2y,y' - 3x,y' = 3y - 2x
y',(2y - 3x) = 3y - 2x
e daí
y' = 3y - 2x2y - 3x

Passo 4

No ponto (1,2) a inclinação vale
y'(1,2) = 3cdot 2 - 2cdot 12cdot 2 - 3cdot 1 = 6 - 24 - 3 = 41 = 4
Usando a forma ponto–inclinação da reta tangente,
y - 2 = 4l(x - 1r),
que, isolando y, dá
y = 4x - 2

Resposta

y = 4x - 2

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