(a) Mostre que, se
depende apenas do produto
, ou seja,
então, a equação
tem um fator integrante na forma
. Dê a fórmula geral para
.
(b) Use a sua resposta do item (a) para encontrar uma solução implícita para
satisfazendo a condição inicial
.
(b) Use a sua resposta do item (a) para encontrar uma solução implícita para
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que se
depende só de
, então a equação
admite um fator integrante do tipo
. O conteúdo principal é usar a condição de exatidão após multiplicar por
. Em seguida, no item (b), aplicamos esse resultado à equação
encontramos
, tornamos a equação exata e achamos a solução implícita com
.
Passo 2
Para que
com
seja fator integrante, precisamos que
Como
, temos
e
. Aplicando a regra da cadeia:
Reagrupando,
Passo 3
Da relação anterior obtém-se
Isso é uma equação de variáveis separáveis em
:
Integrando,
Essa é a fórmula geral do fator integrante do tipo
.
Passo 4
Agora, para a equação
identificamos
,
.
Calculamos
Calculamos
Logo
Isso depende só de
, com
.
Passo 5
Pela fórmula geral,
Como
, escolhemos
Passo 6
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Chamamos esse novo
e
.
Passo 7
Como a equação agora é exata, existe
tal que
Integramos
em
:
Derivando essa expressão em
e igualando a
:
Portanto
Passo 8
A solução implícita é
Usando a condição
:
Resposta
A solução implícita que satisfaz
é