(a) Mostre que, se (partial N / partial x-partial M / partial y) /(x M-y N) depende apenas do produto x y, ou seja,
partial N / partial x-partial M / partial yx M-y N=H(x y)
então, a equação M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 tem um fator integrante na forma mu(x y). Dê a fórmula geral para mu(x y).
(b) Use a sua resposta do item (a) para encontrar uma solução implícita para
(3 y+2 x y^2) d x+(x+2 x^2 y) d y=0
satisfazendo a condição inicial y(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que se
partial N/partial x - partial M/partial yxM - yN =H(xy)
depende só de xy, então a equação
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
admite um fator integrante do tipo mu(xy). O conteúdo principal é usar a condição de exatidão após multiplicar por mu. Em seguida, no item (b), aplicamos esse resultado à equação
(3y+2xy^2),dx + (x+2x^2y),dy = 0,
encontramos mu(xy), tornamos a equação exata e achamos a solução implícita com y(1)=1.

Passo 2

Para que mu=mu(t) com t=xy seja fator integrante, precisamos que
partialpartial yl[mu(t)Mr] =partialpartial xl[mu(t)Nr]
Como t=xy, temos partial t/partial y = x e partial t/partial x = y. Aplicando a regra da cadeia:
mu'(t),x,M + mu(t),My =mu'(t),y,N + mu(t),Nx
Reagrupando,
mu'(t)l(xM - yNr)=mu(t)l(Nx - Myr)

Passo 3

Da relação anterior obtém-se
mu'(t)mu(t) =Nx - My,xM - yN, =H(t)
Isso é uma equação de variáveis separáveis em t:
dmumu=H(t),dt
Integrando,
lnmu(t)=integral H(t),dt + C Longrightarrow mu(t)=e^integral H(t),dt
Essa é a fórmula geral do fator integrante do tipo mu(xy).

Passo 4

Agora, para a equação
(3y+2xy^2),dx+(x+2x^2y),dy=0,
identificamos
;M=3y+2xy^2,
;N=x+2x^2y.
Calculamos
Nx = 1+4xy, My = 3+4xy,
xM - yN = x(3y+2xy^2) - y(x+2x^2y) =3xy+2x^2y^2 - xy -2x^2y^2 =2xy
Logo
Nx - MyxM - yN =(1+4xy)-(3+4xy)2xy =-22xy =-1xy
Isso depende só de t=xy, com H(t)=-1/t.

Passo 5

Pela fórmula geral,
mu(t) =exp!l(integral H(t),dtr) =exp!l(integral -1t,dtr) =exp(-ln|t|) =1t
Como t=xy, escolhemos
mu(x,y)=1xy

Passo 6

Multiplicando a equação original por 1/(xy), obtemos
l(tfrac3y+2xy^2xyr),dx +l(tfracx+2x^2yxyr),dy =l(tfrac3x+2yr),dx +l(tfrac1y+2xr),dy=0
Chamamos esse novo M^*=tfrac3x+2y e N^*=tfrac1y+2x.

Passo 7

Como a equação agora é exata, existe F(x,y) tal que
Fx = M^*=3x+2y, Fy = N^*=1y+2x
Integramos Fx em x:
F(x,y)=3ln|x| +2xy + g(y)
Derivando essa expressão em y e igualando a Fy:
Fy = 2x + g'(y) stackrel!= 1y+2x Longrightarrow g'(y)=1y ;Longrightarrow; g(y)=ln|y|
Portanto
F(x,y)=3ln|x| +2xy +ln|y|

Passo 8

A solução implícita é
F(x,y)=C Longrightarrow 3ln|x| +ln|y| +2xy = C
Usando a condição y(1)=1:
3ln1+ln1+2cdot1cdot1 = C ;Longrightarrow; C=2

Resposta

A solução implícita que satisfaz y(1)=1 é
3ln|x| + ln|y| + 2xy = 2

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