Questão 1. (15 pontos) Encontre a transformada inversa da seguinte função
Passo 1
O enunciado dá a transformada
e pede a transformada inversa por convolução. Ou seja, encontrar
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há um fator
multiplicando o resto da função (isso indica um atraso temporal de quando aplicarmos a transformada inversa). - A parte sem o exponencial é
O objetivo imediato é obter
usando convolução (escrever
como produto de duas transformadas cujas inversas conhecemos) e depois aplicar o efeito do fator
.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral:
- Usarei a propriedade produto-convolução: se
então , onde . - Observando
podemos escrever
Assim tomo
e
. Vou achar
e
, convoluí‑los para obter
e, por fim, usar a propriedade do deslocamento temporal para recuperar
a partir de
.
Passo 3
Calcular
com explicação:
Lembrando que
e
(onde
é o degrau unitário e
o delta de Dirac), então
Interpretação prática:
é a distribuição composta por um impulso em
menos duas unidades constantes para
.
Passo 4
Calcular
. Primeiro fatorar o denominador:
Fazemos frações parciais para
Resolvendo
. Tomando
dá
. Tomando
dá
. Portanto
Invertendo as transformadas conhecidas (
):
Passo 5
Fazer a convolução
. Escrevendo a integral:
Usamos a forma de
como soma de distribuições. Convolução é linear, e a convolução com
simplifica:
-
. -
(basta mudar a variável).
Logo
Passo 6
Calcular explicitamente a integral e simplificar. Primeiro escrevemos
. Então
Calcule cada integral:
Portanto
Simplificando:
Agora montar
. Recordando
, obtemos
Fazendo as contas termo a termo:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Portanto
Passo 7
Aplicar o deslocamento temporal devido a
. A propriedade de deslocamento diz que se
então
No nosso caso
. Assim a transformada inversa pedida é
Substituindo
: