Questão 1. (15 pontos) Encontre a transformada inversa da seguinte função
F(s)=\frac{(s-2) e^{-s}}{s\left(s^{2}+3 s-4\right)} \rightarrow \text { por convoluçad }ç

Passo 1

O enunciado dá a transformada
F(s)=\frac{(s-2)e^{-s}}{s\left(s^{2}+3s-4\right)}
e pede a transformada inversa por convolução. Ou seja, encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há um fator e^{-s} multiplicando o resto da função (isso indica um atraso temporal de 1 quando aplicarmos a transformada inversa).
  • A parte sem o exponencial é
G(s)=\frac{s-2}{s\left(s^{2}+3s-4\right)}.
O objetivo imediato é obter g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} usando convolução (escrever G(s) como produto de duas transformadas cujas inversas conhecemos) e depois aplicar o efeito do fator e^{-s}.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral:
  • Usarei a propriedade produto-convolução: se G(s)=H_1(s)H_2(s) então g(t)=(h_1*h_2)(t)=\int_0^t h_1(\tau)h_2(t-\tau)\,d\tau, onde h_i=\mathcal{L}^{-1}\{H_i\}.
  • Observando G(s) podemos escrever
G(s)=\frac{s-2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}+3s-4}.
Assim tomo H_1(s)=\dfrac{s-2}{s} e H_2(s)=\dfrac{1}{s^{2}+3s-4}. Vou achar h_1 e h_2, convoluí‑los para obter g e, por fim, usar a propriedade do deslocamento temporal para recuperar f(t) a partir de g(t).

Passo 3

Calcular h_1(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H_1(s)\} com explicação:
H_1(s)=\frac{s-2}{s}=1-\frac{2}{s}.
Lembrando que \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1 e \mathcal{L}\{u(t)\}=\dfrac{1}{s} (onde u(t) é o degrau unitário e \delta(t) o delta de Dirac), então
h_1(t)=\delta(t)-2\,u(t).
Interpretação prática: h_1 é a distribuição composta por um impulso em t=0 menos duas unidades constantes para t\ge0.

Passo 4

Calcular h_2(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H_2(s)\}. Primeiro fatorar o denominador:
s^{2}+3s-4=(s-1)(s+4).
Fazemos frações parciais para
\frac{1}{(s-1)(s+4)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+4}.
Resolvendo 1=A(s+4)+B(s-1). Tomando s=1 1=5A\Rightarrow A=\tfrac{1}{5}. Tomando s=-4 1=-5B\Rightarrow B=-\tfrac{1}{5}. Portanto
H_2(s)=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s+4}.
Invertendo as transformadas conhecidas ( \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at}u(t)):
h_2(t)=\frac{1}{5}e^{t}-\frac{1}{5}e^{-4t}\quad\text{para }t\ge0.

Passo 5

Fazer a convolução g(t)=(h_1*h_2)(t). Escrevendo a integral:
g(t)=\int_0^t h_1(\tau)\,h_2(t-\tau)\,d\tau.
Usamos a forma de h_1 como soma de distribuições. Convolução é linear, e a convolução com \delta simplifica:
h_1*h_2=\delta*h_2-2\,u*h_2.
  • \delta*h_2 = h_2(t).
  • u*h_2(t)=\displaystyle\int_0^t h_2(\sigma)\,d\sigma (basta mudar a variável).
    Logo
g(t)=h_2(t)-2\int_0^t h_2(\sigma)\,d\sigma.

Passo 6

Calcular explicitamente a integral e simplificar. Primeiro escrevemos h_2(\sigma)=\tfrac{1}{5}e^{\sigma}-\tfrac{1}{5}e^{-4\sigma}. Então
\int_0^t h_2(\sigma)\,d\sigma=\frac{1}{5}\int_0^t e^{\sigma}\,d\sigma-\frac{1}{5}\int_0^t e^{-4\sigma}\,d\sigma.
Calcule cada integral:
\int_0^t e^{\sigma}\,d\sigma=e^{t}-1, \qquad \int_0^t e^{-4\sigma}\,d\sigma=\frac{1}{4}\bigl(1-e^{-4t}\bigr).
Portanto
\int_0^t h_2(\sigma)\,d\sigma=\frac{1}{5}\bigl(e^{t}-1\bigr)-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4}\bigl(1-e^{-4t}\bigr).
Simplificando:
\int_0^t h_2(\sigma)\,d\sigma=\frac{1}{5}e^{t}-\frac{1}{4}+\frac{1}{20}e^{-4t}.
Agora montar g(t)=h_2(t)-2\cdot(\text{essa integral}). Recordando h_2(t)=\tfrac{1}{5}e^{t}-\tfrac{1}{5}e^{-4t}, obtemos
g(t)=\left(\frac{1}{5}e^{t}-\frac{1}{5}e^{-4t}\right)-2\left(\frac{1}{5}e^{t}-\frac{1}{4}+\frac{1}{20}e^{-4t}\right).
Fazendo as contas termo a termo:
  • Coeficiente de e^{t}: \tfrac{1}{5}-2\cdot\tfrac{1}{5}=-\tfrac{1}{5}.
  • Coeficiente de e^{-4t}: -\tfrac{1}{5}-2\cdot\tfrac{1}{20}=-\tfrac{3}{10}.
  • Termo constante: -2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)=\tfrac{1}{2}.
    Portanto
g(t)=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}e^{t}-\frac{3}{10}e^{-4t},\qquad t\ge0.

Passo 7

Aplicar o deslocamento temporal devido a e^{-s}. A propriedade de deslocamento diz que se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s) então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}G(s)\}=g(t-a)\,u(t-a).
No nosso caso a=1. Assim a transformada inversa pedida é
f(t)=g(t-1)\,u(t-1).
Substituindo g:
f(t)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}e^{\,t-1}-\frac{3}{10}e^{-4(t-1)}\right)u(t-1).

Resposta

f(t)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}e^{\,t-1}-\frac{3}{10}e^{-4(t-1)}\right)u(t-1)

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