Questão 3. ( 15 pontos) Uma esfera não condutora, de raio R , tem uma densidade de carga volumétrica \rho=\rho_{0} r / R, onde \rho_{0} é constante. (a) Calcule a carga elétrica total dentro de uma superfície esférica para raio \mathrm{r}<\mathrm{R}. (b) Calcule a carga elétrica total da esfera. (c) Calcule o campo elétrico em toda a região do espaço (sugestão: use a lei de Gauss). (d) Calcular o potencial elétrico em todo o espaço. Considere que \mathrm{V}(+\infty)=0 volts.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera isolante de raio R com densidade de carga volumétrica que varia linearmente como \rho(r)=\rho_{0}\,\dfrac{r}{R}.
Parte (a) pede a carga dentro de uma esfera de raio r<R — vamos usar integração em coordenadas esféricas.
Parte (b) é o caso r=R.
Para (c) vamos aplicar a lei de Gauss, explorando a simetria esférica.
Para (d) calculamos o potencial via
V(r)=-\int_{\infty}^{r}E(r')\,dr'
impondo V(\infty)=0.

Passo 2

Calcular a carga contida em uma esfera de raio r<R. Em esféricas, o volume
elementar é dV=4\pi r'^{2}dr' e \rho(r')=\rho_{0}\,r'/R. Então
Q(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,dV =\int_{0}^{r}\Bigl(\rho_{0}\frac{r'}{R}\Bigr)\,4\pi r'^{2}\,dr' =\frac{4\pi\rho_{0}}{R}\int_{0}^{r}r'^{3}\,dr' =\frac{4\pi\rho_{0}}{R}\,\frac{r^{4}}{4} =\pi\,\rho_{0}\,\frac{r^{4}}{R}.

Passo 3

A carga total da esfera é Q_{\text{tot}}=Q(R). Substituindo r=R em Q(r):
Q_{\text{tot}} =\pi\,\rho_{0}\,\frac{R^{4}}{R} =\pi\,\rho_{0}\,R^{3}.

Passo 4

Encontrar o campo elétrico E(r) via lei de Gauss. Para superfície gaussiana esférica de raio r:
  • Se r<R, a carga interna é Q(r)=\pi\rho_{0}r^{4}/R, logo
E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q(r)}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\pi\rho_{0}r^{4}/R}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}R}\,r^{2}.
  • Se r\ge R, toda a carga está dentro, Q_{\text{tot}}=\pi\rho_{0}R^{3}, então
E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\pi\rho_{0}R^{3}}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}R^{3}}{4\varepsilon_{0}\,r^{2}}.

Passo 5

Calcular o potencial V(r) fazendo \;V(r)=-\int_{\infty}^{r}E(r')\,dr' e impondo V(\infty)=0.
  1. Para r\ge R, usa-se apenas o campo externo:
V(r) =\int_{r}^{\infty}\frac{\rho_{0}R^{3}}{4\varepsilon_{0}{r'}^{2}}\,dr' =\frac{\rho_{0}R^{3}}{4\varepsilon_{0}}\Bigl[-\frac{1}{r'}\Bigr]_{r}^{\infty} =\frac{\rho_{0}R^{3}}{4\varepsilon_{0}\,r}.
  1. Para r<R, escrevemos
V(r)=V(R)-\int_{R}^{r}E_{\text{int}}(r')\,dr'
com V(R)=\rho_{0}R^{2}/(4\varepsilon_{0}). Então
\int_{R}^{r}E_{\text{int}}(r')\,dr' =\int_{R}^{r}\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}R}\,r'^{2}\,dr' =\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}R}\,\frac{r^{3}-R^{3}}{3} =\frac{\rho_{0}}{12\varepsilon_{0}R}\,(r^{3}-R^{3}).
Logo
V(r) =\frac{\rho_{0}R^{2}}{4\varepsilon_{0}} -\frac{\rho_{0}}{12\varepsilon_{0}R}\,(r^{3}-R^{3}) =\frac{\rho_{0}}{12\varepsilon_{0}R}\,\bigl(4R^{3}-r^{3}\bigr).

Resposta

(a) Q(r)=\pi\,\rho_{0}\,\dfrac{r^{4}}{R}\) para \(r<R\). (b) \(Q_{\text{tot}}=\pi\,\rho_{0}\,R^{3}.\) \text{(c)} \[E(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}R}\,r^{2},&r<R,\\[6pt] \dfrac{\rho_{0}R^{3}}{4\varepsilon_{0}\,r^{2}},&r\ge R. \end{cases}
(d)
V(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho_{0}}{12\varepsilon_{0}R}\,\bigl(4R^{3}-r^{3}\bigr),&r<R,\\[6pt] \dfrac{\rho_{0}R^{3}}{4\varepsilon_{0}\,r},&r\ge R, \end{cases}
com (V(\infty)=0].]

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