Questão 3. ( 15 pontos) Uma esfera não condutora, de raio R , tem uma densidade de carga volumétrica
, onde
é constante. (a) Calcule a carga elétrica total dentro de uma superfície esférica para raio
. (b) Calcule a carga elétrica total da esfera. (c) Calcule o campo elétrico em toda a região do espaço (sugestão: use a lei de Gauss). (d) Calcular o potencial elétrico em todo o espaço. Considere que
volts.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera isolante de raio
com densidade de carga volumétrica que varia linearmente como
.
Parte (a) pede a carga dentro de uma esfera de raio — vamos usar integração em coordenadas esféricas.
Parte (b) é o caso .
Para (c) vamos aplicar a lei de Gauss, explorando a simetria esférica.
Para (d) calculamos o potencial via
Parte (a) pede a carga dentro de uma esfera de raio
Parte (b) é o caso
Para (c) vamos aplicar a lei de Gauss, explorando a simetria esférica.
Para (d) calculamos o potencial via
impondo
.
Passo 2
Calcular a carga contida em uma esfera de raio
. Em esféricas, o volume
elementar é e
. Então
elementar é
Passo 3
A carga total da esfera é
. Substituindo
em
:
Passo 4
Encontrar o campo elétrico
via lei de Gauss. Para superfície gaussiana esférica de raio
:
- Se
, a carga interna é , logo
- Se
, toda a carga está dentro, , então
Passo 5
Calcular o potencial
fazendo
e impondo
.
- Para
, usa-se apenas o campo externo:
- Para
, escrevemos
com
. Então
Logo
Resposta
(a)
(d)
com (V(\infty)=0].]