QUESTÃO 4 (2,5 pts.) - Se C é descrito por z(t)=\sqrt{2} e^{i t}, 0 \leq t \leq 2 \pi, calcule considerando o sentido antihorário (positivo): \oint_{C} \bar{z}^{2} d z
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} \overline{z}^{2}\,dz
ao longo da curva C que é o círculo de raio \sqrt{2} centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário. O conteúdo principal é integração complexa por parametrização de curvas.
Passo 2
Parametrizamos C por \;z(t)=\sqrt{2}\,e^{i t},\;0\le t\le2\pi.
Então \displaystyle dz = z'(t)\,dt = i\sqrt{2}\,e^{i t}\,dt
e a conjugada ao quadrado é \displaystyle \overline{z(t)}^{2} = (\sqrt{2}\,e^{-i t})^{2} = 2\,e^{-2i t}.