QUESTÃO 4 (2,5 pts.) - Se C é descrito por z(t)=\sqrt{2} e^{i t}, 0 \leq t \leq 2 \pi, calcule considerando o sentido antihorário (positivo):
\oint_{C} \bar{z}^{2} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} \overline{z}^{2}\,dz
ao longo da curva C que é o círculo de raio \sqrt{2} centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário. O conteúdo principal é integração complexa por parametrização de curvas.

Passo 2

Parametrizamos C por \;z(t)=\sqrt{2}\,e^{i t},\;0\le t\le2\pi.
Então \displaystyle dz = z'(t)\,dt = i\sqrt{2}\,e^{i t}\,dt
e a conjugada ao quadrado é \displaystyle \overline{z(t)}^{2} = (\sqrt{2}\,e^{-i t})^{2} = 2\,e^{-2i t}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\oint_{C} \overline{z}^{2}\,dz = \int_{0}^{2\pi} \bigl(2\,e^{-2i t}\bigr)\bigl(i\sqrt{2}\,e^{i t}\bigr)\,dt = 2\,i\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi} e^{-i t}\,dt.
Calculamos
\int_{0}^{2\pi} e^{-i t}\,dt = \Bigl[\frac{e^{-i t}}{-i}\Bigr]_{0}^{2\pi} = -\frac{1}{i}\bigl(e^{-2\pi i}-1\bigr) = -\frac{1}{i}(1-1) =0.

Passo 4

Como o coeficiente 2\,i\sqrt{2} é constante, a integral total é
2\,i\sqrt{2}\times 0 = 0.

Resposta

0

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