4^a Questão: ( 15 pontos) Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o ponto (x, y) pertencente a curva x^2+2 y^2=4, tal que o produto x y de suas coordenadas seja o maior possível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização. A missão é encontrar o ponto (x, y) na curva x^2 + 2y^2 = 4 onde o produto das coordenadas, ou seja, x cdot y, é o maior possível.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as nossas funções. Queremos maximizar f(x, y) = x cdot y sujeita à restrição g(x, y) = x^2 + 2y^2 - 4 = 0.

Passo 3

Pelo método de Lagrange, a gente monta a função Lagrangiana:
L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda cdot g(x, y) = x y - lambda (x^2 + 2y^2 - 4)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a x, y e lambda e igualar a zero:
partial Lpartial x = y - 2lambda x = 0 (1)
partial Lpartial y = x - 4lambda y = 0 (2)
partial Lpartial lambda = -(x^2 + 2y^2 - 4) = 0 (3)

Passo 5

Vamos resolver as equações $ (1) $ e $ (2) $ para (1) :
(2)
lambda
Igualando $ (4) $ e $ (5) $:
lambda = y2x (4)
Multiplicando cruzado:
lambda = x4y (5)

Passo 6

Substituímos y^2 = x^22 na equação da restrição x^2 + 2y^2 = 4:
x^2 + 2 ( x^22 ) = 4 Rightarrow x^2 + x^2 = 4 Rightarrow 2x^2 = 4 Rightarrow x^2 = 2 Rightarrow x = pm raiz2

Passo 7

Agora, encontramos y usando y^2 = x^22:
y^2 = 22 = 1 Rightarrow y = pm 1
Então, temos dois pontos possíveis: (raiz2, 1) e (-raiz2, -1).

Passo 8

Para maximizar o produto x cdot y, vamos calcular em ambos os pontos:
raiz2 cdot 1 = raiz2
(-raiz2) cdot (-1) = raiz2
Ambos os pontos dão o mesmo valor máximo para o produto.

Resposta

Os pontos que maximizam o produto x y na curva x^2 + 2y^2 = 4 são (raiz2,,1) e (-raiz2,,-1).

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