Questão: ( 15 pontos) Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o ponto
pertencente a curva
, tal que o produto
de suas coordenadas seja o maior possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização. A missão é encontrar o ponto
na curva
onde o produto das coordenadas, ou seja,
, é o maior possível.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as nossas funções. Queremos maximizar
sujeita à restrição
.
Passo 3
Pelo método de Lagrange, a gente monta a função Lagrangiana:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
e
e igualar a zero:
Passo 5
Vamos resolver as equações $ (1) $ e $ (2) $ para
:
Igualando $ (4) $ e $ (5) $:
Multiplicando cruzado:
Passo 6
Substituímos
na equação da restrição
:
Passo 7
Agora, encontramos
usando
:
Então, temos dois pontos possíveis:
e
.
Passo 8
Para maximizar o produto
, vamos calcular em ambos os pontos:
Ambos os pontos dão o mesmo valor máximo para o produto.
Resposta
Os pontos que maximizam o produto
na curva
são
e
.