Questão 15. (*) Em um processo termodinâmico envolvendo 7,8 mols de um gis ideal, ogis cal uma temperatura inicial de 297 K e tem um volume inicial de 0,040 \mathrm{~m}^{3} .0 gis se expunde adiabaticamente para um volume de 0,080 \mathrm{~m}^{3}. Para este gas, \mathrm{C}_{\mathrm{V}}=12,27 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{K} e \gamma=1.71 Calcule o trabalho realizado sobre o gás durante essa expansio.
A) -1,1 \times 10^{4} \mathrm{~J}
B) -1,7 \times 10^{4} \mathrm{~J}
C) -1,8 \times 10^{4} \mathrm{~J}
D) -2,2 \times 10^{4} \mathrm{~J}
E) -2,8 \times 10^{4} \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal com n=7{,}8 mol, temperatura inicial T_{1}=297 K e volume inicial V_{1}=0{,}040 m³, que se expande adiabaticamente até V_{2}=0{,}080 m³. Sabemos que \gamma=1{,}71 e C_{V}=12{,}27 J mol⁻¹ K⁻¹. O que se pede é o trabalho realizado sobre o gás durante essa expansão adiabática.

Passo 2

Em processo adiabático temos Q=0 e a primeira lei da termodinâmica dá
\Delta U = Q - W_{\text{by}} \quad\Longrightarrow\quad W_{\text{by}} = -\Delta U.
Como \Delta U = n\,C_{V}(\,T_{2}-T_{1}\,), resulta
W_{\text{by}} = -n\,C_{V}\bigl(T_{2}-T_{1}\bigr) = n\,C_{V}\bigl(T_{1}-T_{2}\bigr).
O trabalho realizado sobre o gás é W_{\text{on}} = -W_{\text{by}}.

Passo 3

Para encontrar T_{2} usamos a relação adiabática
T_{2} = T_{1}\,\biggl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\biggr)^{\gamma-1}.
Aqui \gamma-1=1{,}71-1=0{,}71 e V_{1}/V_{2}=0{,}040/0{,}080=0{,}5. Então
T_{2} = 297\;\bigl(0{,}5\bigr)^{0{,}71} \approx 297\times 0{,}611 \approx 181{,}4\text{ K}.

Passo 4

Calculamos o trabalho realizado pelo gás
W_{\text{by}} = n\,C_{V}\,(T_{1}-T_{2}) =7{,}8\times 12{,}27\times (297-181{,}4) \approx 7{,}8\times 12{,}27\times 115{,}6 \approx 1{,}11\times 10^{4}\text{ J}.
Logo o trabalho realizado sobre o gás é
W_{\text{on}} = -\,W_{\text{by}} \approx -1{,}11\times 10^{4}\text{ J}.

Resposta

A) -1,1\times 10^{4} J

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