Um engenheiro quer determinar a altura de uma torre, cujo topo tem cota igual a 567,561 \mathrm{~m}. Para tal instalou uma estação total em um ponto C , cuja cota é 541,844 \mathrm{~m} e observou a base da torre com auxílio de um prisma refletor, preenchendo a seguinte caderneta de campo:
Ponto
Ocupado
Ponto
visado
Altura do
instrumento
Altura do
sinal
Ângulo
Zenital
Distância
inclinada
C BASE 1,540 \mathrm{~m} 1,892 \mathrm{~m} 99^{\circ} 35^{\prime} 48^{\prime \prime} 203,546 \mathrm{~m}
Com base nestas informações estime a altura da torre.

Passo 1

O enunciado pede a altura da torre, ou seja, a diferença entre a cota do topo (já dada: 567,561 m) e a cota da base. Para isso, usamos a medição feita em C (cota do ponto C, altura do instrumento, altura do prisma, ângulo zenital e distância inclinada) e aplicamos trigonometria para achar a cota da base.

Passo 2

Calcular a cota do centro de visão do instrumento ( E_{\rm inst}):
E_{\rm inst} = \text{cota de C} + \text{altura do instrumento}
Substituindo,
E_{\rm inst} = 541,844 + 1,540 = 543,384\\ \text{m}

Passo 3

Converter o ângulo zenital Z em ângulo de depressão \delta em relação à horizontal:
\delta = Z - 90^\circ = 99^\circ35'48'' - 90^\circ = 9^\circ35'48''

Passo 4

Calcular a componente vertical da linha de visada (queda entre instrumento e topo do prisma):
\Delta h = s\:\sin\!\bigl(\delta\bigr)
onde s = 203,546 m. Convertendo \delta em graus decimais,
\delta \approx 9,5967^\circ e
\sin(\delta)\approx 0,16676.
Logo,
\Delta h = 203,546 \times 0,16676 \approx 33,94\\ \text{m}

Passo 5

Encontrar a cota do topo do prisma refletor ( E_{\rm prism}):
E_{\rm prism} = E_{\rm inst} - \Delta h = 543,384 - 33,94 = 509,444\\ \text{m}

Passo 6

Determinar a cota do solo na base da torre, subtraindo a altura do prisma:
E_{\rm base} = E_{\rm prism} - \text{altura do prisma} = 509,444 - 1,892 = 507,552\\ \text{m}

Passo 7

Calcular a altura da torre ( H) como a diferença entre a cota do topo e a cota da base:
H = 567,561 - 507,552 = 60,009\\ \text{m}

Resposta

A altura da torre é aproximadamente 60{,}01 m.

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