Questão 15: Uma região esférica de raio R está impregnada com carga elétrica de modo que o campo elétrico nessa região é dado por E=(E0 / R^2) r r, em que r é o raio vetor, desde o centro da região a um ponto qualquer da mesma, e E0, uma constante. Determine a densidade de carga na região, supondo que o meio seja o vácuo.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo elétrico numa região esférica de raio R impregnada por carga, com
E = E0R^2,r,r,
sendo r a coordenada radial e E0 uma constante. Precisamos achar a densidade volumétrica de carga rho(r) no vácuo, usando a forma diferencial da lei de Gauss:
nablacdotE = rhovarepsilon0

Passo 2

Para calcular nablacdotE em coordenadas esféricas, usamos a fórmula para um campo radial E=Er(r),hat r:
nablacdotE = 1r^2ddrl(r^2Er(r)r)

Passo 3

Aqui Er(r)=E0R^2,r. Logo,
r^2Er(r) = r^2,E0R^2,r = E0R^2,r^3,
e
ddrl(r^2Er(r)r) = ddr!l(E0R^2,r^3r) = 3E0R^2,r^2
Portanto
nablacdotE = 1r^2cdot3E0R^2,r^2 = 3E0R^2

Passo 4

Pelo diferencial da lei de Gauss em matéria vazia,
rho = varepsilon0,nablacdotE = varepsilon0,3E0R^2 = 3varepsilon0E0R^2

Resposta

A densidade de carga na região esférica é
rho = 3varepsilon0E0R^2,
constante para r<= R.

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