Questão 14: Aplicando o teorema da divergência, calcule o fluxo do vetor A=(z+x) i+(z+y) k através da superfície x^2+y^2=9, com z=0 e z=y, sendo z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de A=(z+x),imath+(z+y),k através da superfície fechada S formada pelo cilindro x^2+y^2=9 e pelas “tampas” z=0 e z=y, com z>=0. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
integral duplaSAcdot dS ;=;integral triplaVl(nablacdotAr),dV,
onde V é o volume limitado por S.

Passo 2

Calculamos primeiro a divergência de A:
nablacdotA =partialpartial x(z+x) +partialpartial y(0) +partialpartial z(z+y) =1+0+1=2

Passo 3

Precisamos então do volume
integral triplaVdV
onde V=(x,y,z)mid x^2+y^2<=9,;0<= z<= y. Note que a condição 0<= z<= y exige y>=0. Projetando no plano xy, obtemos o semicírculo de raio 3 com y>=0. Assim
integral triplaVdV =integral duplaRl(integral0^ydzr),dA =integral duplaRy,dA,
onde R=(x,y)mid x^2+y^2<=9,;y>=0.

Passo 4

Em coordenadas polares, x=rcostheta, y=rsintheta, com rin[0,3] e thetain[0,pi]. Temos
integral duplaRy,dA =integral0^pi!integral0^3(rsintheta),(r,dr,dtheta) =integral0^pisintheta,dtheta;integral0^3r^2dr
Calculando cada parte:
integral0^pisintheta,dtheta=2, integral0^3r^2dr=3^33=9
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integral triplaVdV=2cdot9=18

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência:
integral duplaSAcdot dS =integral triplaV2,dV =2cdot18=36

Resposta

O fluxo de A através de S é 36.

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