Questão 14: Aplicando o teorema da divergência, calcule o fluxo do vetor
através da superfície
, com
e
, sendo
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada
formada pelo cilindro
e pelas “tampas”
e
, com
. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
onde
é o volume limitado por
.
Passo 2
Calculamos primeiro a divergência de
:
Passo 3
Precisamos então do volume
onde
. Note que a condição
exige
. Projetando no plano
, obtemos o semicírculo de raio 3 com
. Assim
onde
.
Passo 4
Em coordenadas polares,
,
, com
e
. Temos
Calculando cada parte:
Logo
Passo 5
Aplicando o Teorema da Divergência:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.