Questão 15. A tensão admissível é de 50 MPa na barra de latão A B e de 25 MPa na barra de alumínio B C. Sabendo que um torque de intensidade \mathrm{T}=1250 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} é aplicado em A, determine o diâmetro necessário da barra A B

Passo 1

O enunciado pede: determinar o diâmetro necessário da barra A B. Dados fornecidos:
  • Torque aplicado em A: T=1250\\ \text{N}\cdot\text{m} (dado no enunciado).
  • Tensão admissível na barra A B: \tau_{adm,AB}=50\\ \text{MPa} (dado no enunciado).
  • Tensão admissível na barra B C: \tau_{adm,BC}=25\\ \text{MPa} (dado no enunciado — não é pedido dimensionar BC, mas fica registrado).
    O objetivo é achar o diâmetro d da barra A B de modo que a tensão de cisalhamento por torção não ultrapasse \tau_{adm,AB}.

Passo 2

Conceito básico de torção para um eixo circular maciço:
  • Para um eixo circular sólido de diâmetro d, o momento de inércia polar (momento quadrático polar) é
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • A tensão máxima de cisalhamento na superfície (raio externo c=d/2) sob um torque T é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}.
Explicando as letras: T é o torque aplicado (em N·m), c é o raio externo do eixo (em m), J é o momento polar (em m^4) e \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (em Pa).

Passo 3

Substituindo c=\dfrac{d}{2} e J=\dfrac{\pi d^{4}}{32} na fórmula de \tau_{\max} e simplificando:
\tau_{\max}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32} =\frac{T\,d/2}{(\pi d^{4})/32} =\frac{32\,T\,d}{2\,\pi d^{4}} =\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Portanto a relação prática que usaremos é
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.

Passo 4

Queremos que \tau_{\max}\le \tau_{adm,AB}. Igualando para dimensionamento (caso limite):
\tau_{adm,AB}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Isolando d:
d=\left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{adm,AB}}\right)^{1/3}.

Passo 5

Agora substituímos os valores (atenção às unidades: \text{MPa}=10^{6}\\ \text{Pa}, e 1\\ \text{Pa}=1\\ \text{N}/\text{m}^{2}). Usaremos T=1250\\ \text{N}\cdot\text{m} e \tau_{adm,AB}=50\\ \text{MPa}=50\times10^{6}\\ \text{Pa}.
d=\left(\frac{16\cdot1250}{\pi\cdot50\times10^{6}}\right)^{1/3}.
Calcule passo a passo:
16\cdot1250=20000,
\pi\cdot50\times10^{6}\approx157079632{,}7,
\frac{20000}{157079632{,}7}\approx0{,}00012732395,
d\approx(0{,}00012732395)^{1/3}\approx0{,}05034\\ \text{m}=50{,}34\\ \text{mm}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o diâmetro calculado garante que, quando o torque total T for transmitido pela barra A B, a tensão de cisalhamento na superfície não excederá 50\\ \text{MPa}. Observação: como a barra B C tem tensão admissível menor ( 25\\ \text{MPa}), em um projeto real seria preciso também verificar a distribuição de torque na região de acoplamento/encaixe entre A B e B C e dimensionar/checar BC. Mas a questão pediu apenas o diâmetro de A B.

Resposta

d=0{,}0503\\ \text{m}\approx50{,}3\\ \text{mm}

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