Questão 19. Use o Critério da Integral e verifique se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+4}}
é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+4}}
e pede para verificar se essa série é convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: os termos são a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+4}} para n=1,2,3,\dots.
Pergunta clara: a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n+4}} converge ou diverge?

Passo 2

Vamos usar o Critério da Integral (também chamado de Teste da Integral). Vou explicar o que ele diz, passo a passo, porque isso é importante para você poder aplicar na prova.
Teorema (Critério da Integral, em palavras simples): se existe uma função f(x) positiva, contínua e decrescente em [1,\infty) tal que f(n)=a_n para todo n inteiro ≥ 1, então a série \sum a_n e a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx têm o mesmo comportamento: se a integral converge, a série converge; se a integral diverge, a série diverge.
Por isso, precisamos:
  • encontrar uma função f(x) que coincida com a_n em x=n;
  • verificar que f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty);
  • calcular a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx e ver se converge ou diverge.

Passo 3

Definimos a função contínua que corresponde aos termos da série:
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+4}}=(x+4)^{-1/2}.
Verificações:
  • Positividade: para x\ge 1 temos x+4\ge 5>0, então f(x)>0.
  • Continuidade: x\mapsto (x+4)^{-1/2} é contínua para x>-4, portanto em [1,\infty) é contínua.
  • Monotonicidade (decrescente): calculemos a derivada para ver se f'(x)<0:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x+4)^{-1/2}=-\tfrac{1}{2}(x+4)^{-3/2}.
Como (x+4)^{-3/2}>0 para x\ge 1, temos f'(x)<0 para x\ge 1. Logo f é decrescente em [1,\infty).
Portanto todos os requisitos do Critério da Integral estão satisfeitos.

Passo 4

Aplicamos o Critério da Integral: devemos estudar a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x+4}}\,dx = \int_{1}^{\infty} (x+4)^{-1/2}\,dx.
É uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Se essa integral divergir, a série também diverge; se convergir, a série converge.

Passo 5

Calculamos a antiderivada usando a regra da potência: para p\neq -1, \displaystyle\int u^p\,du=\frac{u^{p+1}}{p+1}. Aqui u=x+4 e p=-\tfrac{1}{2}. Então
\int (x+4)^{-1/2}\,dx = 2(x+4)^{1/2} + C = 2\sqrt{x+4}+C.
Mostrei o passo da regra da potência para você lembrar: o expoente aumenta em 1 (de -\tfrac{1}{2} para \tfrac{1}{2}) e divide-se por esse novo expoente \tfrac{1}{2}, o que equivale a multiplicar por 2.

Passo 6

A integral imprópria é o limite:
\int_{1}^{\infty} (x+4)^{-1/2}\,dx = \lim_{t\to\infty} \int_{1}^{t} (x+4)^{-1/2}\,dx = \lim_{t\to\infty} \Big[2\sqrt{x+4}\Big]_{x=1}^{x=t}.
Avaliaremos:
\Big[2\sqrt{x+4}\Big]_{1}^{t} = 2\sqrt{t+4} - 2\sqrt{1+4} = 2\sqrt{t+4} - 2\sqrt{5}.
Agora o limite quando t\to\infty:
\lim_{t\to\infty} \big(2\sqrt{t+4} - 2\sqrt{5}\big) = \infty,
porque \sqrt{t+4}\to\infty quando t\to\infty. Logo a integral diverge (vai para infinito).

Passo 7

Conclusão pelo Critério da Integral: como \displaystyle\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x+4}}\,dx diverge, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+4}}
também diverge.
Comentário extra (ajuda de prova): outra forma rápida de ver isso é comparar com a série p (série harmônica generalizada). Note que para n\ge 1 temos n+4 \le 5n (porque 4\le 4n), então
\frac{1}{\sqrt{n+4}} \ge \frac{1}{\sqrt{5n}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}.
A série \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sum n^{-1/2} é uma série p com p=\tfrac{1}{2}<1, portanto diverge. Como nossa série tem termos maiores que uma constante vezes n^{-1/2}, ela também diverge por Comparação Limitada. Use essa comparação rápida na prova se quiser economizar tempo.

Resposta

Divergente.

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