Questão 19. Use o Critério da Integral e verifique se a série
é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para verificar se essa série é convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: os termos são para
.
Pergunta clara: a série converge ou diverge?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: os termos são
Pergunta clara: a série
Passo 2
Vamos usar o Critério da Integral (também chamado de Teste da Integral). Vou explicar o que ele diz, passo a passo, porque isso é importante para você poder aplicar na prova.
Teorema (Critério da Integral, em palavras simples): se existe uma função positiva, contínua e decrescente em
tal que
para todo
inteiro ≥ 1, então a série
e a integral imprópria
têm o mesmo comportamento: se a integral converge, a série converge; se a integral diverge, a série diverge.
Por isso, precisamos:
Teorema (Critério da Integral, em palavras simples): se existe uma função
Por isso, precisamos:
- encontrar uma função
que coincida com em ; - verificar que
é positiva, contínua e decrescente em ; - calcular a integral imprópria
e ver se converge ou diverge.
Passo 3
Definimos a função contínua que corresponde aos termos da série:
Verificações:
- Positividade: para
temos , então . - Continuidade:
é contínua para , portanto em é contínua. - Monotonicidade (decrescente): calculemos a derivada para ver se
:
Como
para
, temos
para
. Logo
é decrescente em
.
Portanto todos os requisitos do Critério da Integral estão satisfeitos.
Passo 4
Aplicamos o Critério da Integral: devemos estudar a integral imprópria
É uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Se essa integral divergir, a série também diverge; se convergir, a série converge.
Passo 5
Calculamos a antiderivada usando a regra da potência: para
,
. Aqui
e
. Então
Mostrei o passo da regra da potência para você lembrar: o expoente aumenta em
(de
para
) e divide-se por esse novo expoente
, o que equivale a multiplicar por
.
Passo 6
A integral imprópria é o limite:
Avaliaremos:
Agora o limite quando
:
porque
quando
. Logo a integral diverge (vai para infinito).
Passo 7
Conclusão pelo Critério da Integral: como
diverge, a série
também diverge.
Comentário extra (ajuda de prova): outra forma rápida de ver isso é comparar com a série p (série harmônica generalizada). Note que para
temos
(porque
), então
A série
é uma série p com
, portanto diverge. Como nossa série tem termos maiores que uma constante vezes
, ela também diverge por Comparação Limitada. Use essa comparação rápida na prova se quiser economizar tempo.
Resposta
Divergente.