Questão 15. Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do P_{2} :
\left\{1+t+t^{2}, t+t^{2}, t^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de três polinômios
\{\,1+t+t^{2},\;t+t^{2},\;t^{2}\}
é uma base de P_{2}.
Sabemos que \dim(P_{2})=3, logo basta mostrar que esses três vetores são linearmente independentes (ou geram o espaço).

Passo 2

Vamos escrever cada polinômio nas coordenadas do sistema canônico \{1,t,t^{2}\}:
\displaystyle v_{1}=1+t+t^{2}\longmapsto(1,1,1),
\displaystyle v_{2}=t+t^{2}\longmapsto(0,1,1),
\displaystyle v_{3}=t^{2}\longmapsto(0,0,1).

Passo 3

Montamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas:
M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Passo 4

Calculamos o determinante de M. Como M é triangular inferior,
\det(M)=1\cdot1\cdot1=1\neq0.

Passo 5

Como \det(M)\neq0, os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes. Em um espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de três vetores independentes gera P_{2}. Portanto esse conjunto é uma base de P_{2}.

Resposta

O conjunto \{1+t+t^{2},\,t+t^{2},\,t^{2}\} forma uma base de P_{2}.

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