Questão 15. Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do P_{2} : \left\{1+t+t^{2}, t+t^{2}, t^{2}\right\}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de três polinômios \{\,1+t+t^{2},\;t+t^{2},\;t^{2}\}
é uma base de P_{2}.
Sabemos que \dim(P_{2})=3, logo basta mostrar que esses três vetores são linearmente independentes (ou geram o espaço).
Passo 2
Vamos escrever cada polinômio nas coordenadas do sistema canônico \{1,t,t^{2}\}: \displaystyle v_{1}=1+t+t^{2}\longmapsto(1,1,1), \displaystyle v_{2}=t+t^{2}\longmapsto(0,1,1), \displaystyle v_{3}=t^{2}\longmapsto(0,0,1).
Passo 3
Montamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas:
Calculamos o determinante de M. Como M é triangular inferior,
\det(M)=1\cdot1\cdot1=1\neq0.
Passo 5
Como \det(M)\neq0, os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes. Em um espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de três vetores independentes gera P_{2}. Portanto esse conjunto é uma base de P_{2}.
Resposta
O conjunto \{1+t+t^{2},\,t+t^{2},\,t^{2}\} forma uma base de P_{2}.