Seja A=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right], e defina T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} por T(\mathbf{x})= A \mathbf{x}. Determine as imagens por T de \mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 5\end{array}\right] e \left[\begin{array}{l}-4 \\\\ -1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ 0 & 3\end{pmatrix}
e define T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}. Precisamos calcular T(\mathbf{u}) para \mathbf{u}=\begin{pmatrix}1\\\ 5\end{pmatrix} e para o vetor \begin{pmatrix}-4\\\ -1\end{pmatrix}. O conteúdo é multiplicação de matriz por vetor em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Note que A=3I, sendo I a matriz identidade. Logo, para qualquer \mathbf{x}\in\mathbb{R}^2,
T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}=3I\,\mathbf{x}=3\mathbf{x}.

Passo 3

Para \mathbf{u}=\begin{pmatrix}1\\\ 5\end{pmatrix},
T(\mathbf{u})=3\begin{pmatrix}1\\\ 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\\ 15\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \mathbf{v}=\begin{pmatrix}-4\\\ -1\end{pmatrix},
T(\mathbf{v})=3\begin{pmatrix}-4\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-12\\\ -3\end{pmatrix}.

Resposta

T(\mathbf{u})=\begin{pmatrix}3\\\ 15\end{pmatrix}
T\bigl(\begin{pmatrix}-4\\\ -1\end{pmatrix}\bigr)=\begin{pmatrix}-12\\\ -3\end{pmatrix}

Exercícios relacionados