O que vamos precisar é (1) escrever um elemento genérico como combinação linear a\,v_{1}+b\,v_{2}, (2) ver se v_{1} e v_{2} são independentes e (3) descrever parametrização ou condições sobre as entradas das matrizes desse subespaço.
Logo todo A\in\mathrm{Span}\{v_{1},v_{2}\} tem formato
A=\begin{pmatrix}-z-w & 2z-3w\\\ z & w\end{pmatrix}, \quad z,w\in\mathbb{R}.
Passo 4
Para checar independência, bastaria ver que a única solução de \alpha\,v_{1}+\beta\,v_{2}=0 é \alpha=\beta=0. Mas vimos que cada (z,w) dá um par (a,b) único, de modo que não há combinação não trivial que zere. Portanto \{v_{1},v_{2}\} é LI e gera um subespaço de dimensão 2.
Passo 5
Concluímos que
\mathrm{Span}\{v_{1},v_{2}\} =\Bigl\{\begin{pmatrix}-z-w & 2z-3w\\\ z & w\end{pmatrix}\Bigm|z,w\in\mathbb{R}\Bigr\},
é um plano em M(2,2) com base, por exemplo, \{v_{1},v_{2}\}.
Resposta
O subespaço gerado por v_{1} e v_{2} é
\mathrm{Span}\{v_{1},v_{2}\} =\Bigl\{\begin{pmatrix}-z-w & 2z-3w\\\ z & w\end{pmatrix}\Bigm|z,w\in\mathbb{R}\Bigr\},