Seja o espaço vetorial M(2,2). Determine seus subespaços gerados pelos vetores
v_{1}=\left[\begin{array}{rr}-1 & 2 \\\\ 1 & 0\end{array}\right] e v_{2}=\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\\\ -1 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar o subespaço de M(2,2) gerado pelos vetores
v_{1}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad v_{2}=\begin{pmatrix}2 & 1\\\ -1 & -1\end{pmatrix}.
O que vamos precisar é (1) escrever um elemento genérico como combinação linear a\,v_{1}+b\,v_{2}, (2) ver se v_{1} e v_{2} são independentes e (3) descrever parametrização ou condições sobre as entradas das matrizes desse subespaço.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear genérica
A = a\,v_{1}+b\,v_{2} \;=\;a\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \;+\;b\begin{pmatrix}2 & 1\\\ -1 & -1\end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix}-a+2b & 2a+b\a-b & -\,b\end{pmatrix}.
Chamando as entradas de
A=\begin{pmatrix}x & y\z & w\end{pmatrix},
temos o sistema
\begin{cases} x=-a+2b,\\\ y=2a+b,\\\ z=a-b,\\\ w=-b. \end{cases}

Passo 3

Da última equação vem b=-w. Substituindo em z=a-b obtém-se
a=z+b=z-w.
Agora, em x=-a+2b e y=2a+b ficamos com
x=-(z-w)+2(-w)=-\,z - w, \quad y=2(z-w)+(-w)=2z-3w.
Logo todo A\in\mathrm{Span}\{v_{1},v_{2}\} tem formato
A=\begin{pmatrix}-z-w & 2z-3w\\\ z & w\end{pmatrix}, \quad z,w\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para checar independência, bastaria ver que a única solução de
\alpha\,v_{1}+\beta\,v_{2}=0 é \alpha=\beta=0. Mas vimos que cada (z,w) dá um par (a,b) único, de modo que não há combinação não trivial que zere. Portanto \{v_{1},v_{2}\} é LI e gera um subespaço de dimensão 2.

Passo 5

Concluímos que
\mathrm{Span}\{v_{1},v_{2}\} =\Bigl\{\begin{pmatrix}-z-w & 2z-3w\\\ z & w\end{pmatrix}\Bigm|z,w\in\mathbb{R}\Bigr\},
é um plano em M(2,2) com base, por exemplo, \{v_{1},v_{2}\}.

Resposta

O subespaço gerado por v_{1} e v_{2} é
\mathrm{Span}\{v_{1},v_{2}\} =\Bigl\{\begin{pmatrix}-z-w & 2z-3w\\\ z & w\end{pmatrix}\Bigm|z,w\in\mathbb{R}\Bigr\},
de dimensão 2 e base \{v_{1},v_{2}\}.

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