Questão 16. Considere o escoamento dado por uma corrente uniforme horizontal U_{\infty} e um vórtice de intensidade \Gamma_{1} localizado na origem. Dado um ponto z=r e^{-i \alpha} no quarto quadrante (ou seja, 0 \leq \alpha \leq \pi / 2 ).
(a) Determine a relação entre U_{\infty} e \Gamma_{1} para que a velocidade em z seja na direção -\alpha.
Dica: Determine o argumento da velocidade complexa em z para que ela satisfaça a condição desejada e iguale ao argumento da velocidade complexa em z dada pelo escoamento combinado da corrente horizontal com o vórtice.
Agora considere que existe uma parede horizontal infinita a uma distância 3 r abaixo do vórtice.
(b) Esboce essa nova situação representando a parede, o vórtice imagem, o ponto z e a distância do vórtice à parede.
(c) Calcule qual deve ser a nova intensidade do vórtice \Gamma_{2} em função de \Gamma_{1} para que a velocidade resultante no ponto z continue sendo na direção -\alpha, mesmo que o módulo varie. Qual das duas é maior? \Gamma_{1} ou \Gamma_{2} ?
(d) Compare os módulos da velocidade em z nas duas situações.
Passo 1
O enunciado trata de um escoamento plano potencial formado pela sobreposição de uma corrente uniforme horizontal de intensidade U_{\infty} e de um vórtice de intensidade \Gamma_{1} no ponto z=0. Queremos escolher a relação entre U_{\infty} e \Gamma_{1} para que, no ponto
z = r\,e^{-\,i\alpha},\quad 0\le\alpha\le\frac\pi2,
a velocidade resultante aponte exatamente na direção -\alpha (isto é, formando ângulo -\alpha medido a partir do eixo +x). A técnica principal será usar o argumento do número complexo da velocidade naquele ponto.
Passo 2
O complexo da velocidade do escoamento combinado corrente + vórtice em z é
w(z)\;=\;\underbrace{U_{\infty}}_{\text{corrente}} \;+\;\underbrace{\frac{i\,\Gamma_{1}}{2\pi\,z}}_{\text{vórtice no 0}}\,.
(b) Agora introduzimos uma parede horizontal impenetrável na reta y=-3r. Pelo método de imagens colocamos um vórtice “espelho” simétrico em z_{\,\text{espelho}}= -6\,r\,i, de intensidade oposta à do original, para anular a componente normal da velocidade na parede. Esquematicamente:
– A parede: reta y=-3r.
– Vórtice real: em z=0.
– Vórtice imagem: em z=-6\,r\,i, intensidade -\Gamma_{2} (ainda vamos ajustar \Gamma_{2}).
– Ponto de interesse: z=r\,e^{-i\alpha}, acima da parede (pois -r\sin\alpha > -3r para 0\le\alpha\le\pi/2).
– Distância vertical do vórtice real à parede: 3r.
Passo 4
(c) Com a parede presente, o complexo da velocidade em z passa a ser
Mantemos U_{\infty} dado pela relação do passo 2, e ajustamos agora \Gamma_{2} (a intensidade do vórtice real na nova situação) de modo que \arg w(z)=-\alpha de novo.
Após inserir \;z=r\,e^{-i\alpha}, fatorar, separar parte real e imaginária, e impor \Im[w]/\Re[w]=\tan(-\alpha)=-\tan\alpha,
chega-se a um sistema linear em \Gamma_{2}. A conta completa dá
Porém, o sinal “-” indica apenas que, para satisfazer o BC na parede, o vórtice real mudou de sentido em relação a \Gamma_{1}. Se compararmos os módulos,
No segundo caso (com parede e intensidade ajustada \Gamma_{2}), a expressão análoga envolve \Gamma_{2} no lugar de \Gamma_{1} e adiciona contribuição do espelho. Como \bigl|\Gamma_{2}\bigr|>\bigl|\Gamma_{1}\bigr|, conclui‐se que