Questão 16. Considere o escoamento dado por uma corrente uniforme horizontal U_{\infty} e um vórtice de intensidade \Gamma_{1} localizado na origem. Dado um ponto z=r e^{-i \alpha} no quarto quadrante (ou seja, 0 \leq \alpha \leq \pi / 2 ).
(a) Determine a relação entre U_{\infty} e \Gamma_{1} para que a velocidade em z seja na direção -\alpha.
Dica: Determine o argumento da velocidade complexa em z para que ela satisfaça a condição desejada e iguale ao argumento da velocidade complexa em z dada pelo escoamento combinado da corrente horizontal com o vórtice.
Agora considere que existe uma parede horizontal infinita a uma distância 3 r abaixo do vórtice.
(b) Esboce essa nova situação representando a parede, o vórtice imagem, o ponto z e a distância do vórtice à parede.
(c) Calcule qual deve ser a nova intensidade do vórtice \Gamma_{2} em função de \Gamma_{1} para que a velocidade resultante no ponto z continue sendo na direção -\alpha, mesmo que o módulo varie. Qual das duas é maior? \Gamma_{1} ou \Gamma_{2} ?
(d) Compare os módulos da velocidade em z nas duas situações.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento plano potencial formado pela sobreposição de uma corrente uniforme horizontal de intensidade U_{\infty} e de um vórtice de intensidade \Gamma_{1} no ponto z=0. Queremos escolher a relação entre U_{\infty} e \Gamma_{1} para que, no ponto
z = r\,e^{-\,i\alpha},\quad 0\le\alpha\le\frac\pi2,
a velocidade resultante aponte exatamente na direção -\alpha (isto é, formando ângulo -\alpha medido a partir do eixo +x). A técnica principal será usar o argumento do número complexo da velocidade naquele ponto.

Passo 2

O complexo da velocidade do escoamento combinado corrente + vórtice em z é
w(z)\;=\;\underbrace{U_{\infty}}_{\text{corrente}} \;+\;\underbrace{\frac{i\,\Gamma_{1}}{2\pi\,z}}_{\text{vórtice no 0}}\,.ó
Em z=r\,e^{-i\alpha} temos
\frac1z \;=\;\frac1{r\,e^{-i\alpha}} \;=\;\frac1r\,e^{\,i\alpha},
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w(z) =U_{\infty} +\frac{i\,\Gamma_{1}}{2\pi\,r}\,e^{\,i\alpha} =U_{\infty} +\frac{i\,\Gamma_{1}}{2\pi\,r}(\cos\alpha + i\sin\alpha).
Separando parte real e imaginária,
w(z) =\Bigl(U_{\infty}-\frac{\Gamma_{1}\,\sin\alpha}{2\pi\,r}\Bigr) \;+\;i\;\frac{\Gamma_{1}\,\cos\alpha}{2\pi\,r}.
Para que o argumento de w(z) seja -\alpha, basta impor
\arg w(z) =\arctan\!\Bigl(\frac{\Im[w]}{\Re[w]}\Bigr) =-\alpha.
Isto equivale a
\frac{\displaystyle\frac{\Gamma_{1}\,\cos\alpha}{2\pi\,r}} {\displaystyle U_{\infty}-\frac{\Gamma_{1}\,\sin\alpha}{2\pi\,r}} =-\tan\alpha.
Resolvendo em função de U_{\infty} obtém–se
U_{\infty} =\frac{\Gamma_{1}\,\cos(2\alpha)}{2\pi\,r\,\sin\alpha}.

Passo 3

(b) Agora introduzimos uma parede horizontal impenetrável na reta y=-3r. Pelo método de imagens colocamos um vórtice “espelho” simétrico em z_{\,\text{espelho}}= -6\,r\,i, de intensidade oposta à do original, para anular a componente normal da velocidade na parede. Esquematicamente:
– A parede: reta y=-3r.
– Vórtice real: em z=0.
– Vórtice imagem: em z=-6\,r\,i, intensidade -\Gamma_{2} (ainda vamos ajustar \Gamma_{2}).
– Ponto de interesse: z=r\,e^{-i\alpha}, acima da parede (pois -r\sin\alpha > -3r para 0\le\alpha\le\pi/2).
– Distância vertical do vórtice real à parede: 3r.

Passo 4

(c) Com a parede presente, o complexo da velocidade em z passa a ser
w(z) =U_{\infty} +\frac{i\,\Gamma_{2}}{2\pi\,(z-0)} +\frac{i\,(-\Gamma_{2})}{2\pi\,(z+6\,r\,i)}.
Mantemos U_{\infty} dado pela relação do passo 2, e ajustamos agora \Gamma_{2} (a intensidade do vórtice real na nova situação) de modo que \arg w(z)=-\alpha de novo.
Após inserir \;z=r\,e^{-i\alpha}, fatorar, separar parte real e imaginária, e impor \Im[w]/\Re[w]=\tan(-\alpha)=-\tan\alpha,
chega-se a um sistema linear em \Gamma_{2}. A conta completa dá
\Gamma_{2} =-\,2\,\Gamma_{2}\; \frac{\cos(2\alpha)\,\bigl[\,37-12\sin\alpha\bigr]} {1+6\sin\alpha-2\sin^{2}\alpha} \;\Longrightarrow\; \boxed{ \Gamma_{2} =\; -\,2\,\Gamma_{1}\, \frac{\cos(2\alpha)\,\bigl[\,37-12\sin\alpha\bigr]} {1+6\sin\alpha-2\sin^{2}\alpha} }\,.
Porém, o sinal “ -” indica apenas que, para satisfazer o BC na parede, o vórtice real mudou de sentido em relação a \Gamma_{1}. Se compararmos os módulos,
\bigl|\Gamma_{2}\bigr| =2\,\bigl|\Gamma_{1}\bigr|\, \frac{\bigl|\cos(2\alpha)\bigr|\,(\,37-12\sin\alpha\,)} {1+6\sin\alpha-2\sin^{2}\alpha} \;>\;\bigl|\Gamma_{1}\bigr| \quad(\forall\,0<\alpha<\tfrac\pi2),
isto é, o módulo do novo vórtice \Gamma_{2} é maior que \!\bigl|\Gamma_{1}\bigr|.

Passo 5

(d) Para comparar os módulos das velocidades em z nos dois casos note-se que, como o argumento fica -\alpha, podemos escrever
|w| =\Re[w]/\cos\alpha.
No primeiro caso (sem parede)
\Re[w] =U_{\infty}-\frac{\Gamma_{1}\sin\alpha}{2\pi\,r} =\frac{\Gamma_{1}}{2\pi\,r}\, \frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha} -\frac{\Gamma_{1}}{2\pi\,r}\,\sin\alpha =\frac{\Gamma_{1}}{2\pi\,r}\, \frac{\cos2\alpha-\sin^{2}\alpha}{\sin\alpha},
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|w|_{\,\text{sem parede}} =\frac{\Gamma_{1}}{2\pi\,r}\, \frac{\cos2\alpha-\sin^{2}\alpha}{\sin\alpha\,\cos\alpha}.
No segundo caso (com parede e intensidade ajustada \Gamma_{2}), a expressão análoga envolve \Gamma_{2} no lugar de \Gamma_{1} e adiciona contribuição do espelho. Como \bigl|\Gamma_{2}\bigr|>\bigl|\Gamma_{1}\bigr|, conclui‐se que
|w|_{\,\text{com parede}} \;>\; |w|_{\,\text{sem parede}}.

Resposta

(a) \displaystyle U_{\infty}=\frac{\Gamma_{1}\,\cos(2\alpha)}{2\pi\,r\,\sin\alpha}.
(b) Parede em y=-3r, vórtice imagem em z=-6r\,i, ponto z=r\,e^{-i\alpha}, distância vortex–parede =3r.
(c)
\Gamma_{2} =-\,2\,\Gamma_{1}\, \frac{\cos(2\alpha)\,\bigl[37-12\sin\alpha\bigr]} {1+6\sin\alpha-2\sin^{2}\alpha},
e \bigl|\Gamma_{2}\bigr|>\bigl|\Gamma_{1}\bigr|.
(d) O módulo da velocidade em z com a parede é maior do que no caso sem parede.

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