QUESTÃO 152

Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20 por cento e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25 por cento. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.
Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1 por cento. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B ?
a. 20
b. 60
c. 64
d. 68
e. 80

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar na urna B para que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passe a ser menor ou igual a 1\%. Informações dadas pelo enunciado:
  • A regra para ganhar o voucher é tirar uma bolinha preta da urna A e, simultaneamente, uma bolinha preta da urna B (uma de cada urna).
  • A probabilidade de tirar uma bolinha preta na urna A é de 20\%.
  • A probabilidade de tirar uma bolinha preta na urna B antes da alteração é de 25\%.
  • Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas (essa informação está no enunciado).
  • Todas as bolinhas em cada urna têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
  • O gerente só pode alterar a urna B adicionando bolinhas brancas; o número de bolinhas pretas permanece 4.
  • O objetivo final imposto pelo gerente é que a probabilidade de ganhar o voucher seja menor ou igual a 1\%.

Passo 2

Transformando os percentuais em probabilidades decimais para trabalhar melhor com fórmulas:
  • A probabilidade de preto na urna A é \,0,20 (que equivale a 20\%).
  • A probabilidade objetivo de vitória é no máximo \,0,01 (que equivale a 1\%).
Agora uma ideia importante de probabilidade que precisamos usar: quando dois eventos são independentes (a retirada da urna A não influencia a da urna B), a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Aqui, retirar uma bola de A e retirar uma bola de B são eventos independentes, então
\text{P(vencer)} = \text{P(preto em A)} \cdot \text{P(preto em B)}.

Passo 3

Usando a fórmula do passo anterior e impondo a condição do gerente (probabilidade de vencer \le 0,01):
0,20 \cdot \text{P(preto em B)} \le 0,01.
Isolando \text{P(preto em B)},
\text{P(preto em B)} \le \frac{0,01}{0,20}.
Calculando a divisão:
\frac{0,01}{0,20} = 0,05.
Portanto precisamos que a probabilidade de tirar uma bolinha preta na urna B seja no máximo 0,05 (ou 5\%).

Passo 4

Expressar a probabilidade de preto em B em termos do número de bolinhas. Após adicionar x bolinhas brancas, a urna B terá:
  • 4 bolinhas pretas (fixo),
  • total de bolinhas igual a \text{total inicial} + x.
Precisamos descobrir o total inicial da urna B. O enunciado disse que a probabilidade inicial de preto em B é 25\% e que há 4 pretas, então:
\frac{4}{\text{total inicial}} = 0,25.
Isolando o total inicial:
\text{total inicial} = \frac{4}{0,25} = 16.
Logo a urna B tinha inicialmente 16 bolinhas (das quais 4 são pretas e 12 brancas).
Depois de adicionar x brancas, o total será 16 + x e a probabilidade de preto será
\text{P(preto em B)} = \frac{4}{16+x}.

Passo 5

Agora impomos a condição obtida no Passo 3 à expressão do Passo 4:
\frac{4}{16+x} \le 0,05.
Para evitar decimais, observe que 0,05=\frac{1}{20}. Assim:
\frac{4}{16+x} \le \frac{1}{20}.
Multiplicando ambos os lados por 20(16+x) (ou simplesmente cross-multiplicando, lembrando que 16+x>0), obtemos:
4\cdot 20 \le 16 + x.
Calculando o produto:
80 \le 16 + x.

Passo 6

Isolando x:
x \ge 80 - 16 = 64.
Como x representa um número de bolinhas (um número inteiro não-negativo), o menor valor inteiro que satisfaz a desigualdade é x=64.
Fazendo uma checagem rápida:
  • Se x=64, o total em B passa a ser 16+64=80 e \text{P(preto em B)}=\frac{4}{80}=0,05. Então \text{P(vencer)}=0,20\cdot0,05=0,01, exatamente 1\%, que atende a condição “ \le 1\%”.
  • Se tentássemos x=63, teríamos \text{P(preto em B)}=\frac{4}{79}\approx0,05063 e \text{P(vencer)}\approx0,01013>0,01, ou seja, insuficiente.

Resposta

64

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