QUESTÃO 152
Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20 por cento e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25 por cento. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.
Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna
de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1 por cento. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna
?
a. 20
b. 60
c. 64
d. 68
e. 80
a. 20
b. 60
c. 64
d. 68
e. 80
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar na urna
para que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passe a ser menor ou igual a
. Informações dadas pelo enunciado:
- A regra para ganhar o voucher é tirar uma bolinha preta da urna
e, simultaneamente, uma bolinha preta da urna (uma de cada urna). - A probabilidade de tirar uma bolinha preta na urna
é de . - A probabilidade de tirar uma bolinha preta na urna
antes da alteração é de . - Sabe-se que a urna
tem bolinhas pretas (essa informação está no enunciado). - Todas as bolinhas em cada urna têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
- O gerente só pode alterar a urna
adicionando bolinhas brancas; o número de bolinhas pretas permanece . - O objetivo final imposto pelo gerente é que a probabilidade de ganhar o voucher seja menor ou igual a
.
Passo 2
Transformando os percentuais em probabilidades decimais para trabalhar melhor com fórmulas:
- A probabilidade de preto na urna
é (que equivale a ). - A probabilidade objetivo de vitória é no máximo
(que equivale a ).
Agora uma ideia importante de probabilidade que precisamos usar: quando dois eventos são independentes (a retirada da urna
não influencia a da urna
), a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Aqui, retirar uma bola de
e retirar uma bola de
são eventos independentes, então
Passo 3
Usando a fórmula do passo anterior e impondo a condição do gerente (probabilidade de vencer
):
Isolando
,
Calculando a divisão:
Portanto precisamos que a probabilidade de tirar uma bolinha preta na urna
seja no máximo
(ou
).
Passo 4
Expressar a probabilidade de preto em
em termos do número de bolinhas. Após adicionar
bolinhas brancas, a urna
terá:
-
bolinhas pretas (fixo), - total de bolinhas igual a
.
Precisamos descobrir o total inicial da urna
. O enunciado disse que a probabilidade inicial de preto em
é
e que há
pretas, então:
Isolando o total inicial:
Logo a urna
tinha inicialmente
bolinhas (das quais
são pretas e
brancas).
Depois de adicionar
brancas, o total será
e a probabilidade de preto será
Passo 5
Agora impomos a condição obtida no Passo 3 à expressão do Passo 4:
Para evitar decimais, observe que
. Assim:
Multiplicando ambos os lados por
(ou simplesmente cross-multiplicando, lembrando que
), obtemos:
Calculando o produto:
Passo 6
Isolando
:
Como
representa um número de bolinhas (um número inteiro não-negativo), o menor valor inteiro que satisfaz a desigualdade é
.
Fazendo uma checagem rápida:
- Se
, o total em passa a ser e . Então , exatamente , que atende a condição “ ”. - Se tentássemos
, teríamos e , ou seja, insuficiente.
Resposta
64