QUESTÃO 158

Analisando as vendas de uma empresa, o gerente concluiu que o montante diário arrecadado, em milhar de real, poderia ser calculado pela expressão V de x é igual a, abre parêntese, x ao quadrado sobre 4, fecha parêntese, menos 10 vezes x mais 105, em que os valores de x representam os dias do mês, variando de 1 a 30 .
Um dos fatores para avaliar o desempenho mensal da empresa é verificar qual é o menor montante diário V índice 0 arrecadado ao longo do mês e classificar o desempenho conforme as categorias apresentadas a seguir, em que as quantidades estão expressas em milhar de real.
Ótimo: V índice 0 maior ou igual a 24
Bom: 20 menor ou igual a V índice 0 menor que 24
Normal: 10 menor ou igual a V índice 0 menor que 20
Ruim: 4 menor ou igual a V índice 0 menor que 10
Péssimo: V índice 0 menor que 4
No caso analisado, qual seria a classificação do desempenho da empresa?
a. Ótimo.
b. Bom.
c. Normal.
d. Ruim.
e. Péssimo.

Passo 1

O enunciado dá a função do montante diário (em milhar de real)
V(x)=\frac{x^{2}}{4}-10x+105
em que os valores de x representam os dias do mês, variando de 1 a 30.
Pede-se encontrar o menor montante diário V_{0} arrecadado ao longo do mês e, com esse valor, classificar o desempenho segundo as categorias:
Ótimo: V_{0}\ge24
Bom: 20\le V_{0}<24
Normal: 10\le V_{0}<20
Ruim: 4\le V_{0}<10
Péssimo: V_{0}<4

Passo 2

Identificar a forma da função e onde ocorre o mínimo. A função é um polinômio quadrático do tipo
V(x)=ax^{2}+bx+c
com a=\frac{1}{4}, b=-10 e c=105. Para uma parábola com a>0 (aqui a=\frac{1}{4}>0), o gráfico é uma parábola voltada para cima e possui um único ponto de mínimo: o vértice. O x-do-vértice é dado pela fórmula
x_{\text{v}}=-\frac{b}{2a},
onde a e b são os coeficientes do termo quadrático e linear, respectivamente. Essa fórmula vem de completar o quadrado ou derivar a função e igualar a zero (é a posição do mínimo para a>0).

Passo 3

Calcular a abscissa do vértice usando a=\frac{1}{4} e b=-10:
x_{\text{v}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-10}{2\cdot\frac{1}{4}}=\frac{10}{\frac{1}{2}}=20.
Portanto o vértice está em x=20, que pertence ao intervalo de dias \{1,\dots,30\}. Como o vértice dá o mínimo absoluto da parábola e está dentro do domínio permitido, o menor montante ocorrerá em x=20.

Passo 4

Calcular o valor mínimo V_{0}=V(20). Substituindo x=20 em V(x):
V(20)=\frac{20^{2}}{4}-10\cdot20+105.
Calcule passo a passo:
20^{2}=400,
\frac{400}{4}=100,
-10\cdot20=-200,
então
V(20)=100-200+105=5.
Logo o menor montante diário ao longo do mês é V_{0}=5 (em milhar de real), ou seja, 5{,}000 reais.

Passo 5

Comparar V_{0}=5 com as categorias dadas. Observamos que
4\le 5<10,
portanto V_{0} entra na faixa classificada como “Ruim”.

Resposta

d. Ruim.

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