(Questão 157) Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:
  • algarismos de 0 a 9;
  • 26 letras minúsculas do alfabeto;
  • 26 letras maiúsculas do alfabeto;
  • 6 caracteres especiais: !, @, #, $, *, &.
Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:
  • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
  • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
  • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.
Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o
a) tipo I, pois \mathrm{p} 1<\mathrm{p} 2<\mathrm{p} 3.
b) tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
c) tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
d) tipo III, pois \mathrm{p} 3<\mathrm{p} 2<\mathrm{p} 1.
e) tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Passo 1

O enunciado dá: permitem-se os seguintes caracteres:
10 algarismos ( 0 a 9), 26 letras minúsculas, 26 letras maiúsculas e 6 caracteres especiais !,@,\#,\$ ,* ,\&.
Dados relevantes que eu extraio do enunciado:
\text{total de caracteres disponíveis} = 10 + 26 + 26 + 6 = 68.í
As três estruturas de senha são:
  • tipo I: sequência de quatro caracteres distintos quaisquer (qualquer tipo) — comprimento 4;
  • tipo II: sequência de cinco caracteres distintos, com formato: três letras (cada uma pode ser maiúscula ou minúscula), depois um algarismo, depois um caractere especial — comprimento 5;
  • tipo III: sequência de seis caracteres distintos, com formato: duas letras, dois algarismos, dois caracteres especiais — comprimento 6.
    Define-se p_1,p_2,p_3 como as probabilidades de acertar, à primeira tentativa aleatória, uma senha dos tipos I, II e III, respectivamente. A pergunta: qual tipo tem a menor probabilidade de ser descoberto na primeira tentativa (ou seja, qual tem o menor p_i)?

Passo 2

Como funciona a ideia de contagem e probabilidade aqui:
  • Se todas as senhas válidas de um tipo são igualmente prováveis, a probabilidade de acertar numa tentativa aleatória é
p=\frac{1}{\text{nº total de senhas válidas}}.ºá
  • Para contar senhas (sequências) com caracteres distintos onde a ordem importa, usamos permutações: o número de sequências ordenadas de comprimento k escolhidas dentre n símbolos diferentes é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1).
Vou aplicar essa regra a cada tipo, multiplicando escolhas por posição quando os conjuntos de opções são independentes (por exemplo: letras, dígitos e especiais são conjuntos disjuntos).

Passo 3

Contagem para o tipo I (quaisquer 4 caracteres distintos dentre os 68, ordem importa).
Número total de senhas do tipo I:
N_1 = P(68,4)=68\cdot67\cdot66\cdot65.
Faço as multiplicações passo a passo para facilitar:
68\cdot67=4556,
66\cdot65=4290,
N_1=4556\cdot4290=19\,545\,240.
Logo
p_1=\frac{1}{N_1}=\frac{1}{19\,545\,240}.

Passo 4

Contagem para o tipo II (três letras distintas em ordem nas posições 1–3, depois um algarismo, depois um especial; todos distintos).
  • Número de letras disponíveis (maiúsc.+minúsc.): 52.
  • Para as três posições de letra, em ordem e sem repetição: P(52,3)=52\cdot51\cdot50.
  • Para a posição do algarismo: 10 opções.
  • Para a posição do caractere especial: 6 opções.
    Multiplico tudo:
N_2 = 52\cdot51\cdot50\cdot10\cdot6.
Agrupando para facilitar o cálculo:
52\cdot51=2652,\qquad 50\cdot10\cdot6=50\cdot60=3000,
N_2=2652\cdot3000=7\,956\,000.
Portanto
p_2=\frac{1}{N_2}=\frac{1}{7\,956\,000}.

Passo 5

Contagem para o tipo III (duas letras, dois algarismos, dois especiais; todos distintos; ordem importa).
  • Letras: 52 opções; para duas posições sem repetição e em ordem: P(52,2)=52\cdot51.
  • Algarismos: 10 opções; para duas posições sem repetição e em ordem: P(10,2)=10\cdot9.
  • Especiais: 6 opções; para duas posições sem repetição e em ordem: P(6,2)=6\cdot5.
    Multiplico:
N_3 = 52\cdot51\cdot10\cdot9\cdot6\cdot5.
Calculo passo a passo:
10\cdot9=90,\qquad 6\cdot5=30,\qquad 90\cdot30=2700,
52\cdot51=2652,
N_3=2652\cdot2700=7\,160\,400.
Logo
p_3=\frac{1}{N_3}=\frac{1}{7\,160\,400}.

Passo 6

Agora comparo os totais:
N_1=19\,545\,240,\qquad N_2=7\,956\,000,\qquad N_3=7\,160\,400.
Temos
N_1>N_2>N_3.
Como p_i=1/N_i, inverte-se a ordem:
p_1<p_2<p_3.
Interpretação: o tipo I tem o maior número de senhas possíveis, portanto a menor probabilidade de ser acertado ao acaso na primeira tentativa.

Passo 7

Conclusão final: o tipo de senha com menor probabilidade de descoberta à primeira tentativa é o tipo I, e a ordem das probabilidades é p_1<p_2<p_3. Força aí — você já viu passo a passo como contar e comparar, isso salva na prova.

Resposta

a) tipo I, pois p_1<p_2<p_3.

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