(Questão 157) Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:
- algarismos de 0 a 9;
- 26 letras minúsculas do alfabeto;
- 26 letras maiúsculas do alfabeto;
- 6 caracteres especiais: !, @, #, $, *, &.
Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:
- tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
- tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
- tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.
Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o
a) tipo I, pois
.
b) tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
c) tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
d) tipo III, pois
.
e) tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.
a) tipo I, pois
b) tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
c) tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
d) tipo III, pois
e) tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.
Passo 1
O enunciado dá: permitem-se os seguintes caracteres:
10
algarismos (
a
),
letras minúsculas,
letras maiúsculas e
caracteres especiais
.
Dados relevantes que eu extraio do enunciado:
Dados relevantes que eu extraio do enunciado:
As três estruturas de senha são:
- tipo I: sequência de quatro caracteres distintos quaisquer (qualquer tipo) — comprimento
; - tipo II: sequência de cinco caracteres distintos, com formato: três letras (cada uma pode ser maiúscula ou minúscula), depois um algarismo, depois um caractere especial — comprimento
; - tipo III: sequência de seis caracteres distintos, com formato: duas letras, dois algarismos, dois caracteres especiais — comprimento
.
Define-secomo as probabilidades de acertar, à primeira tentativa aleatória, uma senha dos tipos I, II e III, respectivamente. A pergunta: qual tipo tem a menor probabilidade de ser descoberto na primeira tentativa (ou seja, qual tem o menor )?
Passo 2
Como funciona a ideia de contagem e probabilidade aqui:
- Se todas as senhas válidas de um tipo são igualmente prováveis, a probabilidade de acertar numa tentativa aleatória é
- Para contar senhas (sequências) com caracteres distintos onde a ordem importa, usamos permutações: o número de sequências ordenadas de comprimento
escolhidas dentre símbolos diferentes é
Vou aplicar essa regra a cada tipo, multiplicando escolhas por posição quando os conjuntos de opções são independentes (por exemplo: letras, dígitos e especiais são conjuntos disjuntos).
Passo 3
Contagem para o tipo I (quaisquer
caracteres distintos dentre os
, ordem importa).
Número total de senhas do tipo I:
Número total de senhas do tipo I:
Faço as multiplicações passo a passo para facilitar:
Logo
Passo 4
Contagem para o tipo II (três letras distintas em ordem nas posições 1–3, depois um algarismo, depois um especial; todos distintos).
- Número de letras disponíveis (maiúsc.+minúsc.):
. - Para as três posições de letra, em ordem e sem repetição:
. - Para a posição do algarismo:
opções. - Para a posição do caractere especial:
opções.
Multiplico tudo:
Agrupando para facilitar o cálculo:
Portanto
Passo 5
Contagem para o tipo III (duas letras, dois algarismos, dois especiais; todos distintos; ordem importa).
- Letras:
opções; para duas posições sem repetição e em ordem: . - Algarismos:
opções; para duas posições sem repetição e em ordem: . - Especiais:
opções; para duas posições sem repetição e em ordem: .
Multiplico:
Calculo passo a passo:
Logo
Passo 6
Agora comparo os totais:
Temos
Como
, inverte-se a ordem:
Interpretação: o tipo I tem o maior número de senhas possíveis, portanto a menor probabilidade de ser acertado ao acaso na primeira tentativa.
Passo 7
Conclusão final: o tipo de senha com menor probabilidade de descoberta à primeira tentativa é o tipo I, e a ordem das probabilidades é
. Força aí — você já viu passo a passo como contar e comparar, isso salva na prova.
Resposta
a) tipo I, pois
.