(Questão 158) Em um colégio público, a admissão no primeiro ano se dá por sorteio. Neste ano há 55 candidatos, cujas inscrições são numeradas de 01 a 55 . O sorteio de cada número de inscrição será realizado em etapas, utilizando-se duas urnas. Da primeira urna será sorteada uma bola, dentre bolas numeradas de 0 a 9 , que representará o algarismo das unidades do número de inscrição a ser sorteado e, em seguida, da segunda urna, será sorteada uma bola para representar o algarismo das dezenas desse número. Depois do primeiro sorteio, e antes de se sortear o algarismo das dezenas, as bolas que estarão presentes na segunda urna serão apenas aquelas cujos números formam, com o algarismo já sorteado, um número de 01 a 55 . As probabilidades de os candidatos de inscrição número 50 e 02 serem sorteados são, respectivamente,
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
e)
e
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede as probabilidades de que os candidatos de inscrição número
e
sejam sorteados, respectivamente. Informações dadas importantes:
- Há
inscrições numeradas de a . - O sorteio é em duas etapas: primeiro se sorteia o algarismo das unidades numa urna com bolas numeradas de
a (todas igualmente prováveis); depois, antes de sortear o algarismo das dezenas, a segunda urna fica apenas com aquelas dezenas que, combinadas ao algarismo de unidades já sorteado, formem um número entre e . - Precisamos calcular a probabilidade de sair exatamente o par (dezena, unidade) correspondente a
e a .
Passo 2
Modelo de probabilidade (fórmula útil para usar na prova). Denotemos por
o evento “foi sorteado o algarismo das unidades
” e por
o evento “foi sorteado o algarismo das dezenas
”. A probabilidade de sair um número com dezenas
e unidades
é
Explicação: primeiro se tira o algarismo das unidades (evento
), depois se tira o algarismo das dezenas sabendo o que saiu em
(probabilidade condicional
). A primeira probabilidade é sempre
pois a primeira urna tem
bolas
igualmente prováveis.
Passo 3
Como calcular
na prática (truque para a prova): após sair
, a segunda urna contém exatamente as dezenas
tais que o número
pertence a
. Se houver
dezenas possíveis (contagem dos
válidos), então cada uma tem probabilidade
Portanto
Vamos aplicar esse raciocínio para cada caso pedido.
Passo 4
Caso do número
. Aqui
e
.
- Liste os números possíveis com unidade
que estejam entre e : são . Note que não é válido (não está entre e ). - Logo as dezenas possíveis quando
são , ou seja, . - Aplicando a fórmula:
Passo 5
Caso do número
. Aqui
e
.
- Liste os números possíveis com unidade
entre e : . Todos estão no intervalo a . - Logo as dezenas possíveis quando
são , ou seja, . - Aplicando a fórmula:
Resposta
a)
e