(Questão 158) Em um colégio público, a admissão no primeiro ano se dá por sorteio. Neste ano há 55 candidatos, cujas inscrições são numeradas de 01 a 55 . O sorteio de cada número de inscrição será realizado em etapas, utilizando-se duas urnas. Da primeira urna será sorteada uma bola, dentre bolas numeradas de 0 a 9 , que representará o algarismo das unidades do número de inscrição a ser sorteado e, em seguida, da segunda urna, será sorteada uma bola para representar o algarismo das dezenas desse número. Depois do primeiro sorteio, e antes de se sortear o algarismo das dezenas, as bolas que estarão presentes na segunda urna serão apenas aquelas cujos números formam, com o algarismo já sorteado, um número de 01 a 55 . As probabilidades de os candidatos de inscrição número 50 e 02 serem sorteados são, respectivamente,
a) 1 / 50 e 1 / 60
b) 1 / 50 e 1 / 50
c) 1 / 50 e 1 / 10
d) 1 / 55 e 1 / 54
e) 1 / 100 e 1 / \mathrm{a} 100

Passo 1

O enunciado pede as probabilidades de que os candidatos de inscrição número 50 e 02 sejam sorteados, respectivamente. Informações dadas importantes:
  • 55 inscrições numeradas de 01 a 55.
  • O sorteio é em duas etapas: primeiro se sorteia o algarismo das unidades numa urna com bolas numeradas de 0 a 9 (todas igualmente prováveis); depois, antes de sortear o algarismo das dezenas, a segunda urna fica apenas com aquelas dezenas que, combinadas ao algarismo de unidades já sorteado, formem um número entre 01 e 55.
  • Precisamos calcular a probabilidade de sair exatamente o par (dezena, unidade) correspondente a 50 e a 02.

Passo 2

Modelo de probabilidade (fórmula útil para usar na prova). Denotemos por U=u o evento “foi sorteado o algarismo das unidades u” e por T=t o evento “foi sorteado o algarismo das dezenas t”. A probabilidade de sair um número com dezenas t e unidades u é
P(T=t,\,U=u)=P(U=u)\cdot P(T=t\mid U=u).
Explicação: primeiro se tira o algarismo das unidades (evento U=u), depois se tira o algarismo das dezenas sabendo o que saiu em U (probabilidade condicional P(T=t\mid U=u)). A primeira probabilidade é sempre
P(U=u)=\frac{1}{10},
pois a primeira urna tem 10 bolas (0,1,\dots,9) igualmente prováveis.

Passo 3

Como calcular P(T=t\mid U=u) na prática (truque para a prova): após sair u, a segunda urna contém exatamente as dezenas t tais que o número 10t+u pertence a \{1,2,\dots,55\}. Se houver N(u) dezenas possíveis (contagem dos t válidos), então cada uma tem probabilidade
P(T=t\mid U=u)=\frac{1}{N(u)}.
Portanto
P(T=t,\,U=u)=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{N(u)}=\frac{1}{10\,N(u)}.
Vamos aplicar esse raciocínio para cada caso pedido.

Passo 4

Caso do número 50. Aqui t=5 e u=0.
  • Liste os números possíveis com unidade 0 que estejam entre 01 e 55: são 10,20,30,40,50. Note que 00 não é válido (não está entre 01 e 55).
  • Logo as dezenas possíveis quando u=0 são t\in\{1,2,3,4,5\}, ou seja, N(0)=5.
  • Aplicando a fórmula:
P(\text{número }50)=P(U=0)\cdot P(T=5\mid U=0)=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{50}.ú

Passo 5

Caso do número 02. Aqui t=0 e u=2.
  • Liste os números possíveis com unidade 2 entre 01 e 55: 02,12,22,32,42,52. Todos estão no intervalo 01 a 55.
  • Logo as dezenas possíveis quando u=2 são t\in\{0,1,2,3,4,5\}, ou seja, N(2)=6.
  • Aplicando a fórmula:
P(\text{número }02)=P(U=2)\cdot P(T=0\mid U=2)=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{60}.ú

Resposta

a) \frac{1}{50} e \frac{1}{60}

Exercícios relacionados