Uma empresa de logística deseja analisar seu processo operacional. Para isso, definem-se:
como o número de pacotes que chegam a um centro de distribuição em uma hora. A média de chegadas é de 8 pacotes por hora, sendo razoável admitir que o número de pacotes em diferentes intervalos de tempo é independente,
como número de pacotes em boas condições dentre 5 selecionados aleatoriamente, sabendo que cada pacote tem probabilidade de
de estar em boas condições, independentemente dos demais e
como o tempo (em minutos) necessário para processar um pacote. O tempo médio de processamento é de 6 minutos, e a chance de terminar logo ou demorar mais não depende do que já passou. Admita que
e
sejam independentes.
(a) Calcule a probabilidade de chegarem exatamente 10 pacotes, a probabilidade de todos os 5 pacotes selecionados estarem em boas condições e a probabilidade de o tempo de processamento de um pacote ser no máximo 5 minutos.
(b) Defina
, que representa o tempo total gasto no processamento dos pacotes que chegam em uma hora. Calcule
.
(c) Suponha que o sistema só consegue processar pacotes em boas condições. Defina
. Calcule
.
(a) Calcule a probabilidade de chegarem exatamente 10 pacotes, a probabilidade de todos os 5 pacotes selecionados estarem em boas condições e a probabilidade de o tempo de processamento de um pacote ser no máximo 5 minutos.
(b) Defina
(c) Suponha que o sistema só consegue processar pacotes em boas condições. Defina
Passo 1
O enunciado fornece três variáveis aleatórias e pede três blocos de respostas:
-
: número de pacotes que chegam em uma hora. A média de chegadas é pacotes por hora e o número de chegadas em intervalos independentes é independente. Pergunta: calcular a probabilidade de chegarem exatamente pacotes. -
: número de pacotes em boas condições dentre selecionados aleatoriamente. Cada pacote tem probabilidade de estar em boas condições, independente dos demais. Pergunta: calcular a probabilidade de todos os estarem em boas condições. -
: tempo (em minutos) necessário para processar um pacote. O tempo médio de processamento é minutos e o processo tem memória nula (a chance de terminar logo ou demorar mais não depende do que já passou). Pergunta: calcular a probabilidade de o tempo de processamento de um pacote ser no máximo minutos.
Adicionalmente: - (b) Definem
(tempo total gasto no processamento dos pacotes que chegam em uma hora). Pergunta: calcular . - (c) Supondo que só processam pacotes em boas condições, definem
. Pergunta: calcular .
Dados importantes extraídos do enunciado: média deé ; em temos e ; média de é minutos e o tempo tem memória (portanto é razoável usar distribuição exponencial). Foi dito que , e são independentes.
Passo 2
(a) Primeiro item: probabilidade de chegarem exatamente
pacotes.
- Quando o número de chegadas em intervalos independentes com média conhecida é modelado assim, usamos a distribuição de Poisson. A fórmula da mass function da Poisson com parâmetro
é
onde
é a média (esperança) de
e
é o número de eventos desejado.
- Aqui
e . Logo
Explicando cada termo:
é a parte do decaimento exponencial;
conta as combinações com potência;
normaliza pelo número de permutações. Não preciso calcular decimal aproximado a menos que você queira, a expressão exata é essa.
Passo 3
(a) Segundo item: probabilidade de todos os
pacotes selecionados estarem em boas condições.
- Quando temos
tentativas independentes com probabilidade de sucesso em cada uma, o número de sucessos segue a distribuição Binomial . A probabilidade de exatamente sucessos é
- No caso “todos os
em boas condições” quer dizer , com e . Para temos e o termo , então
Significado: multiplicamos
cinco vezes porque cada pacote tem probabilidade
independentemente dos outros.
Passo 4
(a) Terceiro item: probabilidade de o tempo de processamento de um pacote ser no máximo
minutos, isto é
.
- O enunciado diz que “a chance de terminar logo ou demorar mais não depende do que já passou”, que é a propriedade de memória nula. A distribuição contínua mais comum com memória nula é a distribuição Exponencial. Para uma variável exponencial com parâmetro
, a média (esperança) é . - Aqui a média é
minutos, então
- A função de distribuição cumulativa (CDF) da exponencial é
- Tomando
e ,
Interpretação: essa é a probabilidade de que o processamento termine em até
minutos.
Passo 5
(b) Calcular
com
.
- Propriedade útil: se
e são independentes e ambos têm esperança finita, então
Rápida justificativa:
, usando independência para extrair
do condicionamento.
- Já sabemos
(média da Poisson) e minutos (dado). Portanto
- Interpretação: em média são
pacotes por hora e cada pacote precisa em média minutos, então o tempo total médio gasto no processamento (seguindo a definição ) é minutos.
Passo 6
(c) Calcular
com
, onde
é o número de pacotes bons entre
.
- Usamos novamente a propriedade de independência:
. - Para a Binomial
, a esperança é . Aqui e , então
- Sabemos
minutos, então
- Interpretação: entre os 5 selecionados espera-se
estarem bons, cada um com minutos em média, então o tempo total médio para processar os bons é minutos.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)