Uma empresa de logística deseja analisar seu processo operacional. Para isso, definem-se: X como o número de pacotes que chegam a um centro de distribuição em uma hora. A média de chegadas é de 8 pacotes por hora, sendo razoável admitir que o número de pacotes em diferentes intervalos de tempo é independente, Y como número de pacotes em boas condições dentre 5 selecionados aleatoriamente, sabendo que cada pacote tem probabilidade de 90 \% de estar em boas condições, independentemente dos demais e Z como o tempo (em minutos) necessário para processar um pacote. O tempo médio de processamento é de 6 minutos, e a chance de terminar logo ou demorar mais não depende do que já passou. Admita que X, Y e Z sejam independentes.
(a) Calcule a probabilidade de chegarem exatamente 10 pacotes, a probabilidade de todos os 5 pacotes selecionados estarem em boas condições e a probabilidade de o tempo de processamento de um pacote ser no máximo 5 minutos.
(b) Defina W=X \cdot Z, que representa o tempo total gasto no processamento dos pacotes que chegam em uma hora. Calcule \mathbb{E}[W].
(c) Suponha que o sistema só consegue processar pacotes em boas condições. Defina T=Y \cdot Z. Calcule \mathbb{E}[T].

Passo 1

O enunciado fornece três variáveis aleatórias e pede três blocos de respostas:
  • X: número de pacotes que chegam em uma hora. A média de chegadas é 8 pacotes por hora e o número de chegadas em intervalos independentes é independente. Pergunta: calcular a probabilidade de chegarem exatamente 10 pacotes.
  • Y: número de pacotes em boas condições dentre 5 selecionados aleatoriamente. Cada pacote tem probabilidade 90\% de estar em boas condições, independente dos demais. Pergunta: calcular a probabilidade de todos os 5 estarem em boas condições.
  • Z: tempo (em minutos) necessário para processar um pacote. O tempo médio de processamento é 6 minutos e o processo tem memória nula (a chance de terminar logo ou demorar mais não depende do que já passou). Pergunta: calcular a probabilidade de o tempo de processamento de um pacote ser no máximo 5 minutos.
    Adicionalmente:
  • (b) Definem W = X \cdot Z (tempo total gasto no processamento dos pacotes que chegam em uma hora). Pergunta: calcular \mathbb{E}[W].
  • (c) Supondo que só processam pacotes em boas condições, definem T = Y \cdot Z. Pergunta: calcular \mathbb{E}[T].
    Dados importantes extraídos do enunciado: média de X é 8; em Y temos n=5 e p=0,9; média de Z é 6 minutos e o tempo tem memória (portanto é razoável usar distribuição exponencial). Foi dito que X, Y e Z são independentes.

Passo 2

(a) Primeiro item: probabilidade de chegarem exatamente 10 pacotes.
  • Quando o número de chegadas em intervalos independentes com média conhecida é modelado assim, usamos a distribuição de Poisson. A fórmula da mass function da Poisson com parâmetro \lambda é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde \lambda é a média (esperança) de X e k é o número de eventos desejado.
  • Aqui \lambda=8 e k=10. Logo
P(X=10)=e^{-8}\frac{8^{10}}{10!}.
Explicando cada termo: e^{-8} é a parte do decaimento exponencial; 8^{10} conta as combinações com potência; 10! normaliza pelo número de permutações. Não preciso calcular decimal aproximado a menos que você queira, a expressão exata é essa.

Passo 3

(a) Segundo item: probabilidade de todos os 5 pacotes selecionados estarem em boas condições.
  • Quando temos n tentativas independentes com probabilidade p de sucesso em cada uma, o número de sucessos Y segue a distribuição Binomial \mathrm{Binomial}(n,p). A probabilidade de exatamente k sucessos é
P(Y=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}.
  • No caso “todos os 5 em boas condições” quer dizer k=5, com n=5 e p=0,9. Para k=n temos \binom{n}{n}=1 e o termo (1-p)^{0}=1, então
P(\text{todos 5 bons})=(0,9)^{5}.
Significado: multiplicamos 0,9 cinco vezes porque cada pacote tem probabilidade 0,9 independentemente dos outros.

Passo 4

(a) Terceiro item: probabilidade de o tempo de processamento de um pacote ser no máximo 5 minutos, isto é P(Z\le 5).
  • O enunciado diz que “a chance de terminar logo ou demorar mais não depende do que já passou”, que é a propriedade de memória nula. A distribuição contínua mais comum com memória nula é a distribuição Exponencial. Para uma variável exponencial com parâmetro \lambda>0, a média (esperança) é 1/\lambda.
  • Aqui a média é 6 minutos, então
\frac{1}{\lambda}=6 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{6}.
  • A função de distribuição cumulativa (CDF) da exponencial é
P(Z\le t)=1-e^{-\lambda t}.
  • Tomando t=5 e \lambda=\dfrac{1}{6},
P(Z\le 5)=1-e^{-\frac{1}{6}\cdot 5}=1-e^{-\frac{5}{6}}.
Interpretação: essa é a probabilidade de que o processamento termine em até 5 minutos.

Passo 5

(b) Calcular \mathbb{E}[W] com W=X\cdot Z.
  • Propriedade útil: se X e Z são independentes e ambos têm esperança finita, então
\mathbb{E}[X\cdot Z]=\mathbb{E}[X]\cdot \mathbb{E}[Z].
Rápida justificativa: \mathbb{E}[X Z]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X Z\mid X]]=\mathbb{E}[X\mathbb{E}[Z]]= \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Z], usando independência para extrair \mathbb{E}[Z] do condicionamento.
  • Já sabemos \mathbb{E}[X]=8 (média da Poisson) e \mathbb{E}[Z]=6 minutos (dado). Portanto
\mathbb{E}[W]=\mathbb{E}[X]\cdot \mathbb{E}[Z]=8\cdot 6=48.
  • Interpretação: em média são 8 pacotes por hora e cada pacote precisa em média 6 minutos, então o tempo total médio gasto no processamento (seguindo a definição W=X\cdot Z) é 48 minutos.

Passo 6

(c) Calcular \mathbb{E}[T] com T=Y\cdot Z, onde Y é o número de pacotes bons entre 5.
  • Usamos novamente a propriedade de independência: \mathbb{E}[Y\cdot Z]=\mathbb{E}[Y]\cdot \mathbb{E}[Z].
  • Para a Binomial \mathrm{Binomial}(n,p), a esperança é \mathbb{E}[Y]=n p. Aqui n=5 e p=0,9, então
\mathbb{E}[Y]=5\cdot 0,9=4,5.
  • Sabemos \mathbb{E}[Z]=6 minutos, então
\mathbb{E}[T]=\mathbb{E}[Y]\cdot \mathbb{E}[Z]=4,5\cdot 6=27.
  • Interpretação: entre os 5 selecionados espera-se 4,5 estarem bons, cada um com 6 minutos em média, então o tempo total médio para processar os bons é 27 minutos.

Resposta

(a) P(X=10)=e^{-8}\dfrac{8^{10}}{10!},\quad P(\text{todos 5 bons})=(0,9)^{5},\quad P(Z\le 5)=1-e^{-\tfrac{5}{6}}
(b) \mathbb{E}[W]=48
(c) \mathbb{E}[T]=27

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