Questão
16. Uma antena receptora de satélites tem o refletor na forma de espelho esférico côncavo. De acordo com o espaço disponível onde ela será colocada, o receptor deverá estar no máximo a
do vértice do espelho. Qual o diâmetro máximo que essa antena poderá ter? ( 0 diâmetro de uma antena é o diâmetro da calota esférica, não é o diâmetro da esfera.)
16. Uma antena receptora de satélites tem o refletor na forma de espelho esférico côncavo. De acordo com o espaço disponível onde ela será colocada, o receptor deverá estar no máximo a
Passo 1
O enunciado fala de um espelho esférico côncavo usado como refletor de antena. Em espelho esférico a distância focal
está relacionada ao raio de curvatura
da esfera por
O problema diz que, pelo espaço disponível, o receptor (que fica no foco) deve estar no máximo a
,m do vértice do espelho. Vamos usar isso para achar
e daí o diâmetro da calota esférica (isto é, o diâmetro da “boca” da antena).
Passo 2
Como o receptor não pode ficar além de
,m do vértice, temos
Usando
, isso dá
Para maximizar o tamanho da antena, tomamos o valor máximo
,m.
Passo 3
Uma calota esférica de “boca” máxima ocorre quando extraímos metade da esfera (uma semiesfera), pois qualquer calota mais rasa teria diâmetro de boca menor. Nessa situação, o diâmetro da boca da calota é simplesmente o diâmetro do círculo máximo da esfera, isto é,
Passo 4
Substituindo
,m temos
Resposta
O diâmetro máximo da antena (diâmetro da calota esférica) é
,m.