Questão
16. Uma antena receptora de satélites tem o refletor na forma de espelho esférico côncavo. De acordo com o espaço disponível onde ela será colocada, o receptor deverá estar no máximo a 1,5 m do vértice do espelho. Qual o diâmetro máximo que essa antena poderá ter? ( 0 diâmetro de uma antena é o diâmetro da calota esférica, não é o diâmetro da esfera.)

Passo 1

O enunciado fala de um espelho esférico côncavo usado como refletor de antena. Em espelho esférico a distância focal f está relacionada ao raio de curvatura R da esfera por
f = R2
O problema diz que, pelo espaço disponível, o receptor (que fica no foco) deve estar no máximo a 1,5,m do vértice do espelho. Vamos usar isso para achar R e daí o diâmetro da calota esférica (isto é, o diâmetro da “boca” da antena).

Passo 2

Como o receptor não pode ficar além de 1,5,m do vértice, temos
f <= 1,5
Usando f = R2, isso dá
R2 <= 1,5 Longrightarrow R <= 3 m
Para maximizar o tamanho da antena, tomamos o valor máximo R=3,m.

Passo 3

Uma calota esférica de “boca” máxima ocorre quando extraímos metade da esfera (uma semiesfera), pois qualquer calota mais rasa teria diâmetro de boca menor. Nessa situação, o diâmetro da boca da calota é simplesmente o diâmetro do círculo máximo da esfera, isto é,
D = 2R

Passo 4

Substituindo R=3,m temos
D = 2 times 3 = 6 m

Resposta

O diâmetro máximo da antena (diâmetro da calota esférica) é 6,m.

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