Questão 16. Calcule as derivadas parciais de 1^{\circ} e 2^{\circ} ordem das funções:
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
z = \sqrt{x^2 + y^2}.
Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais e as regras de potência e produto para encontrar
\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y},
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} e
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}.

Passo 2

Para as derivadas de primeira ordem, note que
z = (x^2 + y^2)^{\tfrac12}.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} = \tfrac12 (x^2+y^2)^{-\tfrac12}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},
\frac{\partial z}{\partial y} = \tfrac12 (x^2+y^2)^{-\tfrac12}\cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, derivamos
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = x\,(x^2+y^2)^{-\tfrac12}
em relação a x. Usando produto e potência:
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = (x^2+y^2)^{-\tfrac12} + x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(x^2+y^2)^{-\tfrac32}\cdot 2x = \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{\tfrac32}}.

Passo 4

De modo análogo, para \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}, derivamos
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = y\,(x^2+y^2)^{-\tfrac12}
em relação a y:
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = (x^2+y^2)^{-\tfrac12} + y\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(x^2+y^2)^{-\tfrac32}\cdot 2y = \frac{x^2}{(x^2+y^2)^{\tfrac32}}.

Passo 5

Para o derivada mista, derivamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} em relação a y:
\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} = x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(x^2+y^2)^{-\tfrac32}\cdot 2y = -\frac{xy}{(x^2+y^2)^{\tfrac32}}.
Como as derivadas são contínuas fora de (0,0), vale também
\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = -\frac{xy}{(x^2+y^2)^{\tfrac32}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}
\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}
\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}
\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} = -\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}

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