Questão 19. Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{1+x^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{1}{1+x^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se f é diferenciável na origem. Para isso, primeiro vamos checar a continuidade em (0,0), pois diferenciabilidade implica continuidade.]

Passo 2

Calculamos o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{1+x^{2}} =\frac{1}{1+0^{2}} =1.
Por outro lado, f(0,0)=0. Como o limite não coincide com o valor da função na origem, f não é contínua em (0,0).

Passo 3

Sabendo que diferenciabilidade em um ponto exige, como condição necessária, a continuidade nesse ponto, concluímos que f não pode ser diferenciável na origem.

Resposta

A função f não é diferenciável em (0,0).

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