Questão 19. Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem. f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{1+x^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
e pede para verificar se f é diferenciável na origem. Para isso, primeiro vamos checar a continuidade em (0,0), pois diferenciabilidade implica continuidade.]
Passo 2
Calculamos o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0):
Por outro lado, f(0,0)=0. Como o limite não coincide com o valor da função na origem, f não é contínua em (0,0).
Passo 3
Sabendo que diferenciabilidade em um ponto exige, como condição necessária, a continuidade nesse ponto, concluímos que f não pode ser diferenciável na origem.