Questão 16. Calcule as derivadas parciais de 1^{\circ} e 2^{\circ} ordem das funções:
z=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
z = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}.
O conteúdo necessário envolve a regra do quociente para derivadas parciais e, em seguida, derivar novamente usando regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x,y) = x^2 - y^2, \quad v(x,y) = x^2 + y^2,
de modo que z = u/v. Para \partial z/\partial x aplicamos a regra do quociente:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2},
onde u_x = 2x e v_x = 2x. Logo,
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x\,(x^2+y^2) - (x^2 - y^2)\,2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{4x\,y^2}{(x^2 + y^2)^2}.

Passo 3

Para \partial z/\partial y usamos a mesma regra do quociente:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2},
onde u_y = -2y e v_y = 2y. Assim,
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-2y\,(x^2+y^2) - (x^2 - y^2)\,2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-4x^2\,y}{(x^2 + y^2)^2}.

Passo 4

Agora calculamos \partial^2 z/\partial x^2, isto é, derivamos \partial z/\partial x = 4x\,y^2\,(x^2+y^2)^{-2} em relação a x. Usando produto e cadeia:
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} =4y^2\frac{d}{dx}\Bigl[x\,(x^2+y^2)^{-2}\Bigr] =4y^2\Bigl[(x^2+y^2)^{-2} -4x^2\,(x^2+y^2)^{-3}\Bigr].
Colocando sobre denominador comum (x^2+y^2)^3, obtemos
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{4y^2\,(y^2 - 3x^2)}{(x^2 + y^2)^3}.

Passo 5

Para \partial^2 z/\partial y^2 derivamos \partial z/\partial y = -4x^2\,y\,(x^2+y^2)^{-2} em relação a y:
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =-4x^2\frac{d}{dy}\Bigl[y\,(x^2+y^2)^{-2}\Bigr] =-4x^2\Bigl[(x^2+y^2)^{-2} -4y^2\,(x^2+y^2)^{-3}\Bigr].
Em denominador comum (x^2+y^2)^3, resulta
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{4x^2\,(3y^2 - x^2)}{(x^2 + y^2)^3}.

Passo 6

Por fim, a derivada mista \partial^2 z/\partial x\partial y é obtida derivando \partial z/\partial x = 4x\,y^2\,(x^2+y^2)^{-2} em relação a y:
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =4x\frac{d}{dy}\Bigl[y^2\,(x^2+y^2)^{-2}\Bigr] =8x\,y\,(x^2+y^2)^{-2} -16x\,y^3\,(x^2+y^2)^{-3},
que, reunindo em (x^2+y^2)^3, fica
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \frac{8xy\,(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^3}.
Note que \partial^2 z/\partial y\partial x dá o mesmo resultado pela igualdade das derivadas mistas sob as condições de regularidade desta função.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{4x\,y^2}{(x^2 + y^2)^2}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-4x^2\,y}{(x^2 + y^2)^2},
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{4y^2\,(y^2 - 3x^2)}{(x^2 + y^2)^3}, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{4x^2\,(3y^2 - x^2)}{(x^2 + y^2)^3},
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \frac{8xy\,(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^3}.

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