Questão 16. Calcule as derivadas parciais de
e
ordem das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
O conteúdo necessário envolve a regra do quociente para derivadas parciais e, em seguida, derivar novamente usando regra do produto e da cadeia.
Passo 2
Definimos
de modo que
. Para
aplicamos a regra do quociente:
onde
e
. Logo,
Passo 3
Para
usamos a mesma regra do quociente:
onde
e
. Assim,
Passo 4
Agora calculamos
, isto é, derivamos
em relação a
. Usando produto e cadeia:
Colocando sobre denominador comum
, obtemos
Passo 5
Para
derivamos
em relação a
:
Em denominador comum
, resulta
Passo 6
Por fim, a derivada mista
é obtida derivando
em relação a
:
que, reunindo em
, fica
Note que
dá o mesmo resultado pela igualdade das derivadas mistas sob as condições de regularidade desta função.