Questão 16) Uma camada carregada infinita compreendida entre os planos
e
tem densidade volumétrica de carga
constante. Não há cargas fora dela. Calcule o campo elétrico dentro, acima e abaixo da camada.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que aparece abaixo:
- Há uma camada infinita (estendida em
e infinitamente) limitada pelos planos e . - A densidade volumétrica de carga é constante:
(dentro da camada, isto é, para ). - Não há cargas fora da camada (para
).
O enunciado pede: - Calcular o campo elétrico dentro da camada (
), - Calcular o campo elétrico acima da camada (
), - Calcular o campo elétrico abaixo da camada (
).
Passo 2
Por simetria (a camada é infinita e uniforme nas direções
e
) o campo elétrico só pode depender da coordenada
e deve apontar na direção
(ou seja, para cima ou para baixo). Isso significa que
.
Para aproveitar essa simetria e calcular de forma direta e limpa, vamos usar a Lei de Gauss (é a ferramenta natural quando há simetria planar). Não se preocupe com nomes: a ideia é escolher uma superfície gaussiana simples cujas faces são paralelas à camada para aproveitar que o campo é uniforme nessas faces.
Para aproveitar essa simetria e calcular
Passo 3
Escrevendo a Lei de Gauss:
onde
é o fluxo total do campo na superfície fechada
,
é a carga total contida no volume limitado por
e
é a constante dielétrica do vácuo. Vou explicar cada termo quando aparecer:
é o vetor área apontando para fora da superfície;
aparece na forma integral da lei de Gauss.
Passo 4
Cálculo do campo para
(ponto dentro da camada).
- Considere um retângulo (caixa) gaussiana cuja faces maiores são planos paralelos à camada, localizadas em
e com . Seja a área de cada face plana (qualquer área; ela vai cancelar). A caixa é simétrica em relação ao plano . - Pelo argumento de simetria, o campo nas faces planas vale
na face superior e na face inferior (mesma magnitude, sentidos opostos). Nas faces laterais (paralelas ao vetor ) o produto escalar é zero, então essas faces não contribuem para o fluxo. - Fluxo total:
. (Usei que o fluxo na face superior é e na inferior é , somando dá .) - Carga encerrada
: dentro da caixa, a carga está apenas na faixa entre e (pois ), então
- Aplicando Gauss:
- Cancelando
dos dois lados:
- Escrevendo em forma vetorial, lembrando que o sinal de
já cuida da direção (para aponta para cima, para aponta para baixo):
Esse resultado mostra que o campo cresce linearmente com
dentro da camada e é nulo no centro (
), como esperado por simetria.
Passo 5
Cálculo do campo para
(acima da camada).
- Agora escolha uma caixa gaussiana simétrica com faces em
e , mas com . Nesse caso a caixa engloba toda a camada, então a carga encerrada é a carga total da camada cruzando a área :
- O fluxo continua sendo
(campo nas faces superior e inferior com mesma magnitude). Pela Lei de Gauss:
- Em forma vetorial, para
(campo apontando para fora, isto é, para se ):
- Para
(abaixo da camada) pela mesma simetria o campo tem mesma magnitude mas sentido oposto:
Passo 6
Observações finais, interpretação e casos especiais:
- Em
o campo é contínuo (não há carga de superfície concentrada nessas superfícies), e o valor limite vindo de dentro coincide com o de fora: . - Se
for negativa, basta substituir por seu valor (o sinal inverte a direção do campo). - Intuição física: dentro da camada cada fatia de espessura contribui para o campo, resultando em crescimento linear com
; fora da camada todas as fatias somadas equivalem a uma carga por unidade de área , produzindo campo constante fora da placa, igual a .