Questão 16) Uma camada carregada infinita compreendida entre os planos y=a e y=-a tem densidade volumétrica de carga \rho constante. Não há cargas fora dela. Calcule o campo elétrico dentro, acima e abaixo da camada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que aparece abaixo:
  • Há uma camada infinita (estendida em x e z infinitamente) limitada pelos planos y=a e y=-a.
  • A densidade volumétrica de carga é constante: \rho (dentro da camada, isto é, para -a\le y\le a).
  • Não há cargas fora da camada (para |y|>a).
    O enunciado pede:
  • Calcular o campo elétrico dentro da camada ( |y|<a),
  • Calcular o campo elétrico acima da camada ( y>a),
  • Calcular o campo elétrico abaixo da camada ( y<-a).

Passo 2

Por simetria (a camada é infinita e uniforme nas direções x e z) o campo elétrico só pode depender da coordenada y e deve apontar na direção \hat{\mathbf{y}} (ou seja, para cima ou para baixo). Isso significa que \mathbf{E}=\mathbf{E}(y)=E(y)\,\hat{\mathbf{y}}.
Para aproveitar essa simetria e calcular E(y) de forma direta e limpa, vamos usar a Lei de Gauss (é a ferramenta natural quando há simetria planar). Não se preocupe com nomes: a ideia é escolher uma superfície gaussiana simples cujas faces são paralelas à camada para aproveitar que o campo é uniforme nessas faces.

Passo 3

Escrevendo a Lei de Gauss:
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_0},
onde \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo total do campo na superfície fechada \mathcal{S}, Q_{\rm enc} é a carga total contida no volume limitado por \mathcal{S} e \varepsilon_0 é a constante dielétrica do vácuo. Vou explicar cada termo quando aparecer: d\mathbf{A} é o vetor área apontando para fora da superfície; \varepsilon_0 aparece na forma integral da lei de Gauss.

Passo 4

Cálculo do campo para |y|<a (ponto dentro da camada).
  • Considere um retângulo (caixa) gaussiana cuja faces maiores são planos paralelos à camada, localizadas em y=+y e y=-y com 0<y<a. Seja A a área de cada face plana (qualquer área; ela vai cancelar). A caixa é simétrica em relação ao plano y=0.
  • Pelo argumento de simetria, o campo nas faces planas vale E(y) na face superior e -E(y) na face inferior (mesma magnitude, sentidos opostos). Nas faces laterais (paralelas ao vetor \mathbf{E}) o produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é zero, então essas faces não contribuem para o fluxo.
  • Fluxo total: \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(y)A - (-E(y)A)=2E(y)A. (Usei que o fluxo na face superior é E(y)A e na inferior é -E(y)A, somando dá 2E(y)A.)
  • Carga encerrada Q_{\rm enc}: dentro da caixa, a carga está apenas na faixa entre -y e +y (pois y<a), então
Q_{\rm enc}=\rho \times (\text{volume encerrado})=\rho\,(2yA).
  • Aplicando Gauss:
2E(y)A=\frac{\rho (2yA)}{\varepsilon_0}.
  • Cancelando 2A dos dois lados:
E(y)=\frac{\rho\,y}{\varepsilon_0}.
  • Escrevendo em forma vetorial, lembrando que o sinal de y já cuida da direção (para y>0 aponta para cima, para y<0 aponta para baixo):
\mathbf{E}(y)=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\,y\,\hat{\mathbf{y}},\qquad\text{para }|y|<a.
Esse resultado mostra que o campo cresce linearmente com y dentro da camada e é nulo no centro ( y=0), como esperado por simetria.

Passo 5

Cálculo do campo para y>a (acima da camada).
  • Agora escolha uma caixa gaussiana simétrica com faces em y=+y e y=-y, mas com y>a. Nesse caso a caixa engloba toda a camada, então a carga encerrada é a carga total da camada cruzando a área A:
Q_{\rm enc}=\rho \times (\text{espessura total})\times A=\rho\,(2aA).
  • O fluxo continua sendo 2E(y)A (campo nas faces superior e inferior com mesma magnitude). Pela Lei de Gauss:
2E(y)A=\frac{\rho(2aA)}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E(y)=\frac{\rho a}{\varepsilon_0}.
  • Em forma vetorial, para y>a (campo apontando para fora, isto é, para +\hat{\mathbf{y}} se \rho>0):
\mathbf{E}(y)=\frac{\rho a}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{y}},\qquad\text{para }y>a.
  • Para y<-a (abaixo da camada) pela mesma simetria o campo tem mesma magnitude mas sentido oposto:
\mathbf{E}(y)=-\frac{\rho a}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{y}},\qquad\text{para }y<-a.

Passo 6

Observações finais, interpretação e casos especiais:
  • Em y=\pm a o campo é contínuo (não há carga de superfície concentrada nessas superfícies), e o valor limite vindo de dentro coincide com o de fora: \rho a/\varepsilon_0.
  • Se \rho for negativa, basta substituir \rho por seu valor (o sinal inverte a direção do campo).
  • Intuição física: dentro da camada cada fatia de espessura contribui para o campo, resultando em crescimento linear com y; fora da camada todas as fatias somadas equivalem a uma carga por unidade de área \sigma_{\rm eq}=2a\rho, produzindo campo constante fora da placa, igual a \sigma_{\rm eq}/(2\varepsilon_0)=\rho a/\varepsilon_0.

Resposta

\mathbf{E}(y)=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\,y\,\hat{\mathbf{y}},\quad\text{para }|y|<a.\n
\mathbf{E}(y)=\dfrac{\rho\,a}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{y}},\quad\text{para }y>a.\n
\mathbf{E}(y)=-\dfrac{\rho\,a}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{y}},\quad\text{para }y<-a.

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