Questão 11) Um fio quadrado de lado
está uniformemente carregado com densidade linear de carga
. Calcule o campo elétrico em um ponto
situado sobre a perpendicular aocentro do quadrado, à distância
do seu plano.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o campo elétrico em um ponto
que está sobre a perpendicular ao centro de um fio quadrado uniformemente carregado. Dados fornecidos:
- O fio forma um quadrado de lado
. - A densidade linear de carga é
(constante ao longo do fio). - O ponto
está sobre a perpendicular ao plano do quadrado que passa pelo centro do quadrado, à distância do plano do quadrado.
O que se quer: \emph{calcular o campo elétrico} em(módulo e direção).
Passo 2
Escolho um sistema de coordenadas conveniente e explico a simetria (isso facilita muito a conta):
- Coloco o quadrado no plano
, centrado na origem. Assim os vértices ficam em . - O ponto
tem coordenadas . - Pelo simetria do quadrado, as componentes do campo elétrico no plano
(componentes e ) se cancelam: cada elemento de fio tem um elemento simétrico que produz a componente lateral oposta. Logo só resta componente ao longo do eixo .
Portanto basta calcularem e o campo total será .
Passo 3
Cálculo do contributo de um elemento de fio.
- Considero a aresta superior (paralela ao eixo
), que vai de a , localizada em , . - Um elemento infinitesimal de comprimento vale
e contém carga . - A distância entre esse elemento em
e é
- Pelo princípio de Coulomb, o campo diferencial produzido por
em é
onde
é o versor que aponta do elemento para
. Aqui
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Projeta-se
na direção
.
- O ângulo entre
e o eixo tem cosseno (porque a componente do vetor separação é ). - Portanto a contribuição diferencial da componente
é
Passo 5
Escrevo o integral para a aresta superior.
- Defino
para simplificar a escrita, assim . - A contribuição
é
Passo 6
Calculo da integral
.
- Uma primitiva conhecida (e que pode ser verificada derivando) é
- Avaliando a primitiva entre
e :
- Agora substituo
. Observe que .
Passo 7
Resultado para uma aresta e soma das quatro arestas.
- Substituindo a integral no
de uma aresta:
- Como as quatro arestas são iguais por simetria e suas componentes
somam (as componentes laterais se cancelam), multiplico por :
- Simplificando o fator
, obtemos
- A direção é ao longo de
. Se (ponto acima do plano), o campo aponta para cima se a carga for positiva; o sinal da expressão já dá a direção correta quando tem sinal.
Passo 8
Pequena checagem física (intuição):
- Para
(ponto no plano do quadrado), tem-se pela presença do fator no numerador — consistente com simetria. - Para
(distância muito grande) a expressão se reduz a
e como a carga total do fio é
, isso dá
, como esperado para uma carga pontual distante.