Questão 11) Um fio quadrado de lado 2 l está uniformemente carregado com densidade linear de carga \lambda. Calcule o campo elétrico em um ponto P situado sobre a perpendicular aocentro do quadrado, à distância D do seu plano.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o campo elétrico em um ponto P que está sobre a perpendicular ao centro de um fio quadrado uniformemente carregado. Dados fornecidos:
  • O fio forma um quadrado de lado 2l.
  • A densidade linear de carga é \lambda (constante ao longo do fio).
  • O ponto P está sobre a perpendicular ao plano do quadrado que passa pelo centro do quadrado, à distância D do plano do quadrado.
    O que se quer: \emph{calcular o campo elétrico} em P (módulo e direção).

Passo 2

Escolho um sistema de coordenadas conveniente e explico a simetria (isso facilita muito a conta):
  • Coloco o quadrado no plano z=0, centrado na origem. Assim os vértices ficam em (\pm l,\pm l,0).
  • O ponto P tem coordenadas (0,0,D).
  • Pelo simetria do quadrado, as componentes do campo elétrico no plano z=0 (componentes x e y) se cancelam: cada elemento de fio tem um elemento simétrico que produz a componente lateral oposta. Logo só resta componente ao longo do eixo z.
    Portanto basta calcular E_z em P e o campo total será \mathbf{E}=E_z\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 3

Cálculo do contributo de um elemento de fio.
  • Considero a aresta superior (paralela ao eixo x), que vai de x=-l a x=+l, localizada em y=+l, z=0.
  • Um elemento infinitesimal de comprimento vale dx e contém carga dq=\lambda\,dx.
  • A distância entre esse elemento em (x,l,0) e P(0,0,D) é
r=\sqrt{x^{2}+l^{2}+D^{2}}.
  • Pelo princípio de Coulomb, o campo diferencial produzido por dq em P é
d\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}},
onde \hat{\mathbf{r}} é o versor que aponta do elemento para P. Aqui \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Projeta-se d\mathbf{E} na direção z.
  • O ângulo entre \hat{\mathbf{r}} e o eixo z tem cosseno \cos\theta = \dfrac{D}{r} (porque a componente z do vetor separação é D).
  • Portanto a contribuição diferencial da componente z é
dE_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r^{2}}\cos\theta =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\lambda\,dx}{r^{2}}\cdot\frac{D}{r} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\lambda D\,\frac{dx}{r^{3}}.

Passo 5

Escrevo o integral para a aresta superior.
  • Defino a^{2}=l^{2}+D^{2} para simplificar a escrita, assim r^{2}=x^{2}+a^{2}.
  • A contribuição E_{z}^{(\text{uma aresta})} é
E_{z}^{(\text{uma aresta})}=\frac{\lambda D}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{-l}^{l}\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.

Passo 6

Calculo da integral \displaystyle \int_{-l}^{l}\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.
  • Uma primitiva conhecida (e que pode ser verificada derivando) é
\frac{x}{a^{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}},\quad\text{pois}\quad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{a^{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\right)=\frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.
  • Avaliando a primitiva entre -l e +l:
\int_{-l}^{l}\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}} =\left[\frac{x}{a^{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\right]_{-l}^{l} =\frac{l}{a^{2}\sqrt{l^{2}+a^{2}}}-\frac{-l}{a^{2}\sqrt{l^{2}+a^{2}}} =\frac{2l}{a^{2}\sqrt{l^{2}+a^{2}}}.
  • Agora substituo a^{2}=l^{2}+D^{2}. Observe que \sqrt{l^{2}+a^{2}}=\sqrt{l^{2}+(l^{2}+D^{2})}=\sqrt{2l^{2}+D^{2}}.

Passo 7

Resultado para uma aresta e soma das quatro arestas.
  • Substituindo a integral no E_{z} de uma aresta:
E_{z}^{(\text{uma aresta})} =\frac{\lambda D}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{2l}{(l^{2}+D^{2})\sqrt{2l^{2}+D^{2}}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{2\lambda l D}{(l^{2}+D^{2})\sqrt{2l^{2}+D^{2}}}.
  • Como as quatro arestas são iguais por simetria e suas componentes z somam (as componentes laterais se cancelam), multiplico por 4:
E_{z}=4\,E_{z}^{(\text{uma aresta})} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{8\lambda l D}{(l^{2}+D^{2})\sqrt{2l^{2}+D^{2}}}.
  • Simplificando o fator \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot 8 = \dfrac{2}{\pi\varepsilon_{0}}, obtemos
E_{z}=\frac{2\lambda l D}{\pi\varepsilon_{0}\,(l^{2}+D^{2})\sqrt{2l^{2}+D^{2}}}.
  • A direção é ao longo de \hat{\mathbf{z}}. Se D>0 (ponto acima do plano), o campo aponta para cima se a carga for positiva; o sinal da expressão já dá a direção correta quando \lambda tem sinal.

Passo 8

Pequena checagem física (intuição):
  • Para D\to 0 (ponto no plano do quadrado), tem-se E_{z}\to 0 pela presença do fator D no numerador — consistente com simetria.
  • Para D\gg l (distância muito grande) a expressão se reduz a
E_{z}\approx\frac{2\lambda l}{\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{D^{2}},
e como a carga total do fio é Q=8\lambda l, isso dá E\approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{D^{2}}, como esperado para uma carga pontual distante.

Resposta

\mathbf{E}(0,0,D)=\frac{2\lambda l D}{\pi\varepsilon_{0}\,(l^{2}+D^{2})\sqrt{2l^{2}+D^{2}}}\,\hat{\mathbf{z}}.

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