Questão 16

Um campo magnético dentro de um solenoide super condutor é 4,50 \mathrm{~T}. O solenoide tem diâmetro 6,20 \mathrm{~cm} e comprimento de 26,0 \mathrm{~cm}. Determine (a) A densidade da energia magnética no campo (b) A energia armzenada no campo magnético no solenoide.

Passo 1

O enunciado dá um campo magnético uniforme dentro de um solenoide supercondutor e pede duas quantidades:
  • (a) a densidade da energia magnética no campo;
  • (b) a energia armazenada no campo magnético dentro do solenoide.
Dados fornecidos:
  • Campo magnético: B = 4,50\\ \mathrm{T}.
  • Diâmetro do solenoide: d = 6,20\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento do solenoide: L = 26,0\\ \mathrm{cm}.
Observação sobre unidades: vou converter comprimentos para metros (SI) antes de calcular:
  • d = 6,20\\ \mathrm{cm} = 0,0620\\ \mathrm{m}.
  • raio r = d/2 = 0,0310\\ \mathrm{m}.
  • L = 26,0\\ \mathrm{cm} = 0,260\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito e fórmula para a densidade de energia magnética:
  • Em vácuo (ou ar), a densidade de energia armazenada num campo magnético uniforme é dada por
u = \frac{B^{2}}{2\mu_{0}}.
Explicando cada símbolo:
  • u é a densidade de energia magnética, em \mathrm{J\,m^{-3}} (joules por metro cúbico).
  • B é o módulo do campo magnético, em teslas ( \mathrm{T}).
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, com valor
\mu_{0} = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N\,A^{-2}} \approx 1,25663706\times10^{-6}\\ \mathrm{H\,m^{-1}}.
Comentário rápido: essa fórmula vem da energia armazenada em campos eletromagnéticos (é análoga à energia elétrica \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 para campo elétrico). Aqui usaremos diretamente a fórmula.

Passo 3

Cálculo numérico da densidade u. Substituindo B e \mu_{0}:
B^{2} = (4,50)^{2} = 20,25\\ \mathrm{T^{2}}.
2\mu_{0} = 2\cdot(4\pi\times10^{-7}) = 8\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N\,A^{-2}}\approx 2,51327412\times10^{-6}.
Agora
u = \frac{20,25}{2,51327412\times10^{-6}}\\ \mathrm{J\,m^{-3}} \approx 8{,}060{,}760{,}9\\ \mathrm{J\,m^{-3}}.
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas compatíveis com os dados):
u \approx 8{,}06\times10^{6}\\ \mathrm{J\,m^{-3}}.

Passo 4

Cálculo do volume do solenoide (aproximado como um cilindro): fórmula
V = \pi r^{2} L.
Substituindo r = 0,0310\\ \mathrm{m} e L = 0,260\\ \mathrm{m}:
r^{2} = (0,0310)^{2} = 0,000961\\ \mathrm{m^{2}}.
\pi r^{2} = \pi\cdot 0,000961 \approx 0,00301909\\ \mathrm{m^{2}}.
V = 0,00301909\cdot 0,260 \approx 0,0007850\\ \mathrm{m^{3}}.
Em notação científica:
V \approx 7{,}85\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Cálculo da energia total armazenada U. Relação entre densidade e energia total:
U = u\;V.
Substituindo os valores numéricos:
U \approx (8{,}060{,}760{,}9\\ \mathrm{J\,m^{-3}})\times(0,0007850\\ \mathrm{m^{3}}) \approx 6{,}327{,}8\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma consistente:
U \approx 6{,}33\times10^{3}\\ \mathrm{J} = 6{,}33\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Resumo e verificação rápida de ordem de grandeza: a densidade de energia é muito alta porque B é grande (vários teslas). Multiplicando por um volume pequeno (menos de 1 litro), obtemos energia da ordem de quilojoules — isso faz sentido físico.

Resposta

(a) u \approx 8{,}06\times10^{6}\\ \mathrm{J\,m^{-3}}
(b) U \approx 6{,}33\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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