Questão 7

Uma fem de 20 mV é induzida em uma bobina 500 espiras quando a corrente estiver mudadando a taxa de 10 \mathrm{~A} / \mathrm{s}. Qual é o fluxo magnético em cada volta da bobina em um instante quando a corrente for 4,00 \mathrm{~A} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Fem induzida na bobina: \mathcal{E}=20\\ \mathrm{mV}.
    • Número de espiras: N=500.
    • Taxa de variação da corrente: \dfrac{dI}{dt}=10\\ \mathrm{A/s}.
    • Queremos o fluxo magnético em cada volta quando a corrente é I=4{,}00\\ \mathrm{A}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o fluxo magnético por volta \Phi (em Weber, \mathrm{Wb}) naquele instante.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Lei de Faraday para uma bobina com N espiras:
\mathcal{E} = -N\,\frac{d\Phi}{dt},
onde \mathcal{E} é a fem induzida (em volts), N é o número de espiras e \Phi é o fluxo magnético através de cada espira (em \mathrm{Wb}). A derivada \dfrac{d\Phi}{dt} é a taxa de variação do fluxo por espira.
  • Fluxo ligado (flux linkage) \lambda é definido por
\lambda = N\Phi.
Para um circuito linear (o comportamento típico de uma bobina sem saturação), a relação entre \lambda e a corrente I é linear:
\lambda = L\,I,
onde L é a indutância da bobina (em henry, \mathrm{H}). Isso significa que o fluxo por espira é
\Phi = \frac{\lambda}{N} = \frac{L\,I}{N}.
  • Também, derivando \lambda = L I em relação ao tempo e usando a lei de Faraday:
\mathcal{E} = -\frac{d\lambda}{dt} = -L\,\frac{dI}{dt}.
Dessa igualdade podemos achar L conhecendo \mathcal{E} e \dfrac{dI}{dt}.

Passo 3

Calcular a indutância L a partir de \mathcal{E} e \dfrac{dI}{dt}.
  • Reescrevendo a fórmula (usando valores de magnitude; o sinal menos só indica sentido):
L = \frac{|\mathcal{E}|}{\left|\dfrac{dI}{dt}\right|}.
  • Converter \mathcal{E} para unidades SI: \mathcal{E}=20\\ \mathrm{mV}=20\times10^{-3}\\ \mathrm{V}.
  • Calcular:
L = \frac{20\times10^{-3}}{10} = 2\times10^{-3}\\ \mathrm{H}.
Portanto, a indutância da bobina é L=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{H} (ou 2{,}0\\ \mathrm{mH}).

Passo 4

Expressar o fluxo por espira \Phi em função de L, I e N.
  • Usando \Phi = \dfrac{L\,I}{N}, onde:
    • L já encontrado,
    • I=4{,}00\\ \mathrm{A} (dado),
    • N=500.

Passo 5

Calcular numericamente \Phi.
  • Primeiro calcule L\,I:
L\,I = (2\times10^{-3})\cdot(4{,}00) = 8\times10^{-3}\\ \mathrm{Wb}.
  • Agora divida por N:
\Phi = \frac{8\times10^{-3}}{500} = 1{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{Wb}.

Passo 6

Comentário final (didático e de checagem): a unidade faz sentido porque 1\\ \mathrm{H}\cdot1\\ \mathrm{A}=1\\ \mathrm{Wb}. Aqui a indutância vezes a corrente dá o fluxo ligado total N\Phi; dividindo por N obtemos o fluxo por espira. O valor calculado é o módulo do fluxo; o sinal dependeria da orientação escolhida para corrente/fluxo.

Resposta

1{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{Wb}

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