Questāo 8. 1 g de gás hélio, com C_{V}^{\prime}=3 R / 2, inicialmente nas condições NTP, é submetida aos seguintes processos: (i) expansão isotérmica até o dobro do volume inicial; (ii) aquecimento a volume constante, absorvendo 50 c a l; (iii) compressão isotérmica, até voltar ao volume inicial.
b) Calcule \Delta U e \Delta W para os processos (i), (ii) e (iii).

Passo 1

O enunciado dá: 1\\ \mathrm{g} de hélio com C_{V}^{\prime}=3R/2, nas condições NTP, e três processos sequenciais:
(i) expansão isotérmica até o dobro do volume inicial;
(ii) aquecimento a volume constante, absorvendo 50\\ \mathrm{cal};
(iii) compressão isotérmica até voltar ao volume inicial.
O que é pedido: calcular \Delta U e \Delta W para cada processo (i), (ii) e (iii).
Informações relevantes que vamos usar (peguei esses valores do enunciado e constantes usuais):
  • massa do gás: m=1\\ \mathrm{g}.
  • massa molar do hélio: M=4\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}. Portanto o número de mols é
n=\frac{m}{M}=\frac{1}{4}=0,25\\ \mathrm{mol}.
  • capacidade molar C_V'=3R/2.
  • constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • NTP: temperatura inicial T_0=273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • conversão de energia: 1\\ \mathrm{cal}=4{,}184\\ \mathrm{J}. Logo 50\\ \mathrm{cal}=50\times4{,}184=209{,}2\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Resumo das fórmulas e convenções de sinal (aulas rápidas):
  • Primeira lei da termodinâmica (no formato que usaremos):
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor absorvido pelo sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema (convenção: W>0 quando o gás realiza trabalho sobre o ambiente).
  • Para um gás ideal monoatômico (como o hélio), a energia interna depende só da temperatura e, para variação:
\Delta U = n C_V \Delta T,
onde C_V é a capacidade molar a volume constante (aqui C_V=C_V'=3R/2), n número de mols e \Delta T variação de temperatura.
  • Trabalho em processos isotérmicos reversíveis (ideal):
W_{\text{isot}} = n R T \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right),
onde T é a temperatura constante do processo.
  • Trabalho em processo isocórico (volume constante): W=0.
Vou usar essas fórmulas passo a passo para cada processo.

Passo 3

Calcular a quantidade n R T_0 que aparece no trabalho isotérmico inicial (é útil já ter esse número):
n R T_0 = 0,25 \times 8{,}314 \times 273{,}15 = 567{,}742\dots\\ \mathrm{J}.
Arredondarei quando necessário para três algarismos significativos nas respostas numéricas finais.

Passo 4

  • Como o processo é isotérmico para gás ideal, a energia interna não muda:
\Delta U_{(i)}=0.
  • O trabalho realizado pelo gás é
W_{(i)}=n R T_0 \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=n R T_0 \ln 2.
Substituindo o valor calculado em \,n R T_0,
W_{(i)}=567{,}742\cdot\ln 2 \approx 567{,}742\times0{,}693147 \approx 393{,}6\\ \mathrm{J}.
Convertendo para calorias:
W_{(i)}\approx\frac{393{,}6}{4{,}184}\approx94{,}1\\ \mathrm{cal}.

Passo 5

  • Em isocórico W_{(ii)}=0.
  • O enunciado diz que o sistema absorve Q_{(ii)}=50\\ \mathrm{cal}=209{,}2\\ \mathrm{J}. Pela primeira lei:
\Delta U_{(ii)} = Q_{(ii)} - W_{(ii)} = 209{,}2\\ \mathrm{J} - 0 = 209{,}2\\ \mathrm{J}.
  • Para ver a variação de temperatura (útil para o processo (iii)), usamos \Delta U = n C_V \Delta T. Primeiro calcule C_V:
C_V = \frac{3}{2}R = \frac{3}{2}\times8{,}314 = 12{,}471\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Então
n C_V = 0,25\times12{,}471 = 3{,}11775\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.
Logo a variação de temperatura é
\Delta T = \frac{\Delta U_{(ii)}}{n C_V}=\frac{209{,}2}{3{,}11775}\approx67{,}10\\ \mathrm{K}.
Portanto a nova temperatura (aquela em que se realiza o processo isotérmico de compressão) é
T_1 = T_0 + \Delta T \approx 273{,}15 + 67{,}10 = 340{,}25\\ \mathrm{K}.

Passo 6

  • O processo é isotérmico em T_1, então para gás ideal:
\Delta U_{(iii)}=0.
  • O trabalho realizado pelo gás (agora compressão, portanto o valor será negativo) é
W_{(iii)} = n R T_1 \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Aqui o volume inicial do processo (iii) é o volume após (i) e (ii), que é 2V_{\text{orig}}, e o volume final do processo (iii) é o volume inicial original V_{\text{orig}}. Assim \dfrac{V_f}{V_i}=\dfrac{V_{\text{orig}}}{2V_{\text{orig}}}=\tfrac{1}{2}. Logo
W_{(iii)} = n R T_1 \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = - n R T_1 \ln 2.
Calcule n R T_1:
n R T_1 = 0,25 \times 8{,}314 \times 340{,}25 \approx 707{,}20\\ \mathrm{J}.
Portanto
W_{(iii)} \approx -707{,}20\times0{,}693147 \approx -490{,}7\\ \mathrm{J}.
Em calorias:
W_{(iii)}\approx\frac{-490{,}7}{4{,}184}\approx-117{,}3\\ \mathrm{cal}.

Passo 7

  • Em (i) e (iii) \Delta U=0 porque ambos são isotérmicos para gás ideal (energia interna depende só de T).
  • Em (i) o gás realiza trabalho positivo ao expandir; em (iii) o trabalho é negativo porque o gás é comprimido (trabalho realizado sobre o gás).
  • Em (ii) como o volume é constante, W=0 e toda a energia fornecida como calor aumenta a energia interna (e a temperatura) do gás.

Resposta

(i) \Delta U=0,\\ \Delta W=+393{,}6\\ \mathrm{J}\\ \left(\approx94{,}1\\ \mathrm{cal}\right)
(ii) \Delta U=+209{,}2\\ \mathrm{J}\\ \left(=50\\ \mathrm{cal}\right),\\ \Delta W=0
(iii) \Delta U=0,\\ \Delta W=-490{,}7\\ \mathrm{J}\\ \left(\approx-117{,}3\\ \mathrm{cal}\right)

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