Questão 16. Determine o raio de convergência das séries.(SÉRIES DE POTÊNCIAS)
\sum_{n=0}^{+\infty} n x^{n};

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} n\,x^{n}.
Esse problema está no conteúdo de séries de potências e vamos usar testes de convergência (razão e raiz).

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Definindo a_n = n\,x^n, temos
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{(n+1)\,|x|^{\,n+1}}{n\,|x|^n} = \frac{n+1}{n}\,|x|.
Portanto,
L = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\,|x| = |x|.
O teste da razão diz que a série converge se L<1, isto é, se |x|<1.

Passo 3

Para confirmar, usamos o teste da raiz. Observamos
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}\,\sqrt[n]{|x|^n} = 1\cdot|x| = |x|.
O teste da raiz também garante convergência se |x|<1.

Passo 4

A condição de convergência é |x|<1, logo o raio de convergência é
R = 1.

Resposta

R = 1

Exercícios relacionados