{ }^{\star} Resolva as inequações:
\frac{1}{x}<x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{1}{x} < x,
que é uma desigualdade envolvendo razão e variável no denominador. Vamos determinar o domínio x\neq0, passar tudo para o mesmo lado e usar uma análise de sinal para encontrar os intervalos que satisfazem a condição.

Passo 2

Levo tudo para o mesmo lado para ter uma única fração:
\frac{1}{x} - x < 0.
Para unir as parcelas, coloco no mesmo denominador x (lembrando que x\neq0):
\frac{1}{x} - x = \frac{1 - x^2}{x}.
Logo a inequação fica
\frac{1 - x^2}{x} < 0.

Passo 3

Fatoro o numerador 1 - x^2:
1 - x^2 = -(x^2 - 1) = -(x-1)(x+1).
Portanto
\frac{1 - x^2}{x} = \frac{-(x-1)(x+1)}{x}.
Os pontos críticos onde o sinal pode mudar são as raízes de cada fator: x=-1, x=0 e x=1.

Passo 4

Faço o quadro de sinais para cada fator e para a fração total em cada intervalo determinado por -\infty,-1,0,1,\infty:
  • Para x<-1:
    (x-1)<0, (x+1)<0, o produto (x-1)(x+1)>0, mas há o sinal “ -” na frente, então o numerador é <0. O denominador x<0. Logo a fração é >0, não satisfaz.
  • Para -1<x<0:
    (x-1)<0, (x+1)>0, o produto (x-1)(x+1)<0, com o “ -” vira numerador >0. Mas x<0 faz o denominador negativo, então a fração é <0, satisfaz.
  • Para 0<x<1:
    (x-1)<0, (x+1)>0, o produto (x-1)(x+1)<0, com “ -” numerador >0. Denominador >0, fração >0, não satisfaz.
  • Para x>1:
    (x-1)>0, (x+1)>0, o produto (x-1)(x+1)>0, com “ -” numerador <0. Denominador >0, fração <0, satisfaz.
Os valores x=-1,0,1 não entram (tornam a fração zero ou indefinida).

Resposta

x \in (-1,0)\;\cup\;(1,\infty).

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