Para cada função, encontre a série de Maclaurin ou a série de Taylor centrada em “a” e determine o intervalo de convergência:(SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN)
f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}};

Passo 1

Aqui queremos a série de Maclaurin de
f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}
ou seja, a expansão em potências de x em torno de 0. O método principal será usar o teorema do binômio generalizado para expoente não inteiro.

Passo 2

O teorema do binômio generalizado diz que, para \alpha\in\mathbb{R} e |u|<1,
(1+u)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}\,u^n,
onde
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.
Aqui temos \alpha=-\tfrac12 e u=-x, pois
f(x)=(1-x)^{-\tfrac12}=(1+(-x))^{-\tfrac12}.

Passo 3

Substituindo \alpha=-\tfrac12 e u=-x obtemos
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\tfrac12}{n}(-x)^n.
Usando a identidade
\binom{-\tfrac12}{n}(-1)^n=\frac{(2n)!}{(n!)^2\,4^n},
chegamos a
\frac{1}{\sqrt{1-x}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^2\,4^n}\;x^n.

Passo 4

Para determinar o raio de convergência, podemos usar o teste da razão em \displaystyle a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^2\,4^n}. Calcula-se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)(2n+1)}{4\,(n+1)^2}=1,
logo o raio é R=1. Assim, a série converge para |x|<1.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{1-x}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^2\,4^n}\,x^n, \quad |x|<1.

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