Questão 16. Encontre o produto misto, (u, v, w) , em cada caso:
u=i+3 j+k e v=2 i+3 j-3 k, w=i-j-3 k.

Passo 1

O enunciado pede o produto misto de três vetores, também chamado de triplo escalar. O conteúdo da matéria é que
(vec u,vec v,vec w)
pode ser calculado como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de vec u, vec v e vec w.

Passo 2

Vamos montar esse determinante com as componentes:
(vec u,vec v,vec w) = 1 & 3 & 1 2 & 3 & -3 1 & -1 & -3
onde vec u=(1,3,1), vec v=(2,3,-3) e vec w=(1,-1,-3).

Passo 3

Expandindo pela primeira linha:
(vec u,vec v,vec w) &=1cdot3 & -3 -1 & -3 -3cdot2 & -3 1 & -3 +1cdot2 & 3 1 & -1

Passo 4

Calculando cada menor de ordem 2:
3 & -3 -1 & -3 &=3cdot(-3)-(-3)cdot(-1)=-9-3=-12, 2 & -3 1 & -3 &=2cdot(-3)-(-3)cdot1=-6+3=-3, 2 & 3 1 & -1 &=2cdot(-1)-3cdot1=-2-3=-5
Substituindo:
(vec u,vec v,vec w) =1cdot(-12)-3cdot(-3)+1cdot(-5) =-12+9-5=-8

Resposta

-8

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