Verifique se os conjuntos dados a seguir têm a estrutura de espaço vetorial, com as operações dadas.
, com as operações
definidas por
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com adição usual de matrizes e multiplicação escalar definida por
Precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial:
- axiomas de adição (fechamento, comutatividade, associatividade, elemento neutro, inverso aditivo),
- axiomas de multiplicação escalar (fechamento, associatividade de escalares, elemento escalar
, distributividade).
Passo 2
Verificamos os axiomas de adição. Para quaisquer
:
:
- Fechamento:
- Comutatividade e associatividade são óbvias pois somamos componente a componente.
- Elemento neutro é
pois
.
4. Inverso aditivo de é
.
4. Inverso aditivo de é
Passo 3
Agora os axiomas gerais de multiplicação escalar (sem ainda testar distributividades): seja
e .
- Fechamento:
- Identidade escalar:
- Associatividade de escalares:
Passo 4
Testamos a distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares. Para
e :
(a)
(b)
Como
em geral, a distributividade sobre soma de escalares falha.