Verifique se os conjuntos dados a seguir têm a estrutura de espaço vetorial, com as operações dadas.
V2=M2(R), com as operações
+: M2(R) times M2(R) M2(R) e cdot: R times M2(R) M2(R)
definidas por
(cc x1 & y1 z1 & w1 )+(cc x2 & y2 z2 & w2 )=(cc x1+x2 & y1+y2 z1+z2 & w1+w2 ) e a cdot(cc x & y z & w )=(cc a x & y z & a w )

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto com adição usual de matrizes e multiplicação escalar definida por
Precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial:
  • axiomas de adição (fechamento, comutatividade, associatividade, elemento neutro, inverso aditivo),
  • axiomas de multiplicação escalar (fechamento, associatividade de escalares, elemento escalar , distributividade).

Passo 2

Verificamos os axiomas de adição. Para quaisquer
:
  1. Fechamento:
  1. Comutatividade e associatividade são óbvias pois somamos componente a componente.
  2. Elemento neutro é
pois .
4. Inverso aditivo de é
.

Passo 3

Agora os axiomas gerais de multiplicação escalar (sem ainda testar distributividades): seja e .
  1. Fechamento:
  1. Identidade escalar:
  1. Associatividade de escalares:

Passo 4

Testamos a distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares. Para e :
(a)
(b)
Como
em geral, a distributividade sobre soma de escalares falha.

Resposta

V2 não é espaço vetorial, pois a multiplicação escalar não satisfaz a distributividade sobre soma de escalares.

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