Em cada item, determine uma base e a dimensão do subespaço vetorial W de V.
V=R^3 e W=[(1,0,3),(0,-1,2),(1,-1,5)].

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
W = span(1,0,3),,(0,-1,2),,(1,-1,5)
em V=R^3. Vamos usar o conceito de combinação linear para verificar independência e extrair uma base de vetores independentes que geram W.

Passo 2

Verificamos se há dependência linear entre
v1=(1,0,3), v2=(0,-1,2), v3=(1,-1,5)
Note que
v1 + v2 = (1+0,;0-1,;3+2) = (1,-1,5) = v3
Logo existe relação não trivial
v3 - v1 - v2 = 0,
e os três vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Como v3 depende de v1 e v2, basta verificar que v1 e v2 são independentes. Se existisse lambda tal que
v1 = lambda,v2
teríamos
(1,0,3) = (,0,,-lambda,;2lambda),
o que é impossível pois o primeiro componente exigiria 1=0. Logo v1 e v2 são independentes.

Passo 4

Concluímos que
W = spanv1,v2
e que v1,v2 é uma base de W. Como são dois vetores independentes,
dim W = 2

Resposta

A base escolhida pode ser
(1,0,3),,(0,-1,2),
e dim W = 2.

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