Questão 16

Um pêndulo simples, composto por uma esfera de massa \mathrm{m}=3 \mathrm{~kg} presa a uma haste rígida de massa desprezível, realiza um movimento periódico com deslocamentos angulares muito pequenos. O deslocamento angular em função do tempo é dado por \theta(t)=\theta \max \cos (5 t+\varphi) enquanto que sua velocidade angular é dada por \Omega(t)=\frac{d \theta(t)}{d t}. Sabe-se que, no instante t=0 \mathrm{~s}, seu deslocamento angular é \theta(0)=0.02 rad e sua velocidade angular é \Omega(0)=0.1 \sqrt{ } 3 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Utilize \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(a) Qual é a amplitude angular de oscilação do pêndulo?
(b) Qual é a fase do movimento?
\varphi=-\pi / 6
\varphi=-\pi / 3
\varphi=-2 \pi / 3
\varphi=-5 \pi / 6
\varphi=\pi / 6
\varphi=\pi / 3
\varphi=2 \pi / 3
\varphi=5 \pi / 6
(c) Determine o comprimento da haste deste pêndulo.

Passo 1

O enunciado trata de um pêndulo simples em pequenas oscilações, cuja solução é um movimento harmônico simples dado por
\theta(t)=\theta_{\max}\cos(5t+\varphi),
com velocidade angular
\Omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=-5\,\theta_{\max}\,\sin(5t+\varphi).
Os dados iniciais em t=0 são \theta(0)=0,02 rad e \Omega(0)=0,1\sqrt{3} rad/s.
Também sabemos que, para pequenas oscilações, a frequência angular se relaciona com o comprimento L pela
5=\omega=\sqrt{\frac{g}{L}},
com g=10 m/ s^{2}. Vamos usar essas ideias para achar (a) \theta_{\max}, (b) \varphi e (c) L.

Passo 2

Impondo as condições iniciais:
\theta(0)=\theta_{\max}\cos\varphi=0,02,
\Omega(0)=-5\,\theta_{\max}\sin\varphi=0,1\sqrt{3}.
Elevando ao quadrado e somando, tiramos \theta_{\max}:
\theta_{\max}^2\bigl(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi\bigr) =0,02^2+\Bigl(\frac{0,1\sqrt{3}}{5}\Bigr)^2 =0,0004+(0,02\sqrt{3})^2 =0,0004+0,0012 =0,0016,
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\theta_{\max}=\sqrt{0,0016}=0,04\\ \text{rad}.

Passo 3

Agora achamos \varphi por
\cos\varphi=\frac{0,02}{0,04}=\tfrac12, \qquad \sin\varphi=-\frac{0,1\sqrt{3}}{5\cdot0,04}=-\frac{0,1\sqrt{3}}{0,2}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Isso corresponde a \varphi num quadrante onde o cosseno é positivo e o seno negativo, ou seja
\varphi=-\frac{\pi}{3}.

Passo 4

Por fim, para obter o comprimento L, usamos
\omega=5=\sqrt{\frac{g}{L}} \quad\Longrightarrow\quad L=\frac{g}{5^2}=\frac{10}{25}=0,4\\ \text{m}.

Resposta

(a) \theta_{\max}=0,04 rad
(b) \varphi=-\tfrac{\pi}{3}
(c) L=0,4 m

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