Questão 18

A equação m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+b \frac{d x}{d t}+k x= Fosen( \omega ext t ) descreve o movimento de um sistema massa-mola sob a ação de uma força externa oscilatória, de uma força restauradora e de uma força de atrito viscoso. Assinale a afirmativa correta:
Escolha uma opção:
a. O bloco oscila com a frequência \sqrt{ } k / m, pois esta é a frequência angular natural deste sistema.
b. O termo Fosen ( \omega ext t ) descreve a força restauradora da mola que é proporcional à deformação da mola \mathrm{x}(\mathrm{t}), que por sua vez é sempre uma função seno ou cosseno.
c. O bloco oscila com a frequência \sqrt{ } \mathrm{k} / \mathrm{m}, do sistema massa-mola ideal (sem atrito nem força externa oscilatória), pois o efeito da força externa cancela o efeito da viscosidade. d. Como existe uma força externa de amplitude F 0 , a amplitude do movimento do bloco deve ser igual à amplitude desta força externa.
e. O bloco oscila com a mesma frequência Wext da força externa.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de um oscilador massa-mola amortecido e forçado
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + b\frac{dx}{dt} + kx = F_{0}\sin\bigl(\omega_{\mathrm{ext}}t\bigr),
onde há uma força restauradora -kx, uma força de atrito viscoso -b\,\dot x e uma força externa oscilatória F_{0}\sin(\omega_{\mathrm{ext}}t). O conteúdo é oscilação forçada amortecida, e vamos usar a forma geral da solução (transiente e regime estacionário) para decidir qual afirmativa é correta.

Passo 2

Da teoria de oscilador forçado amortecido temos:
  • A solução geral é x(t)=x_{\text{trans}}(t)+x_{p}(t), onde o transiente x_{\text{trans}}(t) decai devido ao amortecimento.
  • No regime permanente (quando o transiente já morreu), sobra apenas a solução particular
x_{p}(t)=A\sin\bigl(\omega_{\mathrm{ext}}t-\varphi\bigr),
ou seja, o bloco oscila na frequência da força externa \omega_{\mathrm{ext}}, com amplitude A e defasagem \varphi. A frequência natural amortecida do homogêneo seria \omega_{0}=\sqrt{\tfrac{k}{m}}, mas ela só aparece no transiente e não define a oscilação em regime permanente.

Passo 3

Analisando as opções:
a. Incorreta: \sqrt{\tfrac{k}{m}} é a frequência natural do sistema sem força externa, mas em regime estacionário o movimento não ocorre nessa frequência.
b. Incorreta: F_{0}\sin(\omega_{\mathrm{ext}}t) é a força externa, não a restauradora.
c. Incorreta: o efeito da força externa não “cancela” a viscosidade; o amortecimento age no transiente.
d. Incorreta: a amplitude do deslocamento A depende de \omega_{\mathrm{ext}}, b e k, não é simplesmente igual a F_{0}.
e. Correta: em regime permanente o bloco oscila exatamente com a frequência \omega_{\mathrm{ext}} da força aplicada.

Resposta

e. O bloco oscila com a mesma frequência \omega_{\mathrm{ext}} da força externa.

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