Um sistema massa-mola é colocado dentro de um meio viscoso. Em um intervalo de tempo de 5 segundos, o bloco completa 5 oscilações até praticamente parar seu movimento.
(a) Qual é o regime de amortecimento?
(b) Sabe-se que o bloco parte do repouso com posição inicial de 5 cm e que, após 4 oscilações, sua posição passa a ser de 1 cm . Qual é o valor da razão entre o coeficiente de viscosidade e a massa do bloco?
(c) Dadas as condições iniciais, determine a tangente da constante de fase deste movimento.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa-mola amortecido em um meio viscoso que completa 5 oscilações em 5 s até praticamente parar. Isso indica que temos um amortecimento do tipo subamortecido. Para resolver precisamos da definição de período e da lei de decaimento exponencial da amplitude em um amortecedor viscoso.

Passo 2

Como o bloco faz 5 oscilações em 5 s, o período é
T=\frac{5\;\text{s}}{5}=1\;\text{s},
e a frequência angular amortecida é
\omega_d=\frac{2\pi}{T}=2\pi\;\text{rad/s}.
Para o amortecimento subamortecido a solução é
x(t)=A_0e^{-\beta t}\cos\bigl(\omega_d t+\varphi\bigr),
com \beta=\dfrac{b}{2m}. Como ainda há oscilações e elas decaem, o regime é subamortecido.

Passo 3

A amplitude inicial é A_0=5,cm e, após 4 oscilações ( t=4T=4,s), passa a A(4T)=1,cm. Pela lei de decaimento:
\frac{A(4T)}{A_0} =\exp(-\beta\cdot4) \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{5}=e^{-4\beta} \quad\Longrightarrow\quad \beta=\frac{1}{4}\ln5.
Como \beta=b/(2m), segue
\frac{b}{m}=2\beta =2\cdot\frac{1}{4}\ln5 =\frac{\ln5}{2}\;\bigl(\text{s}^{-1}\bigr).

Passo 4

Nas condições iniciais temos x(0)=A_0\cos\varphi=5,cm e v(0)=0. Calculando v(0):
v(0)=-\beta A_0\cos\varphi-\omega_d A_0\sin\varphi=0 \quad\Longrightarrow\quad -\beta\cos\varphi-\omega_d\sin\varphi=0
\Longrightarrow\quad \omega_d\sin\varphi=-\beta\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi=-\frac{\beta}{\omega_d} =-\frac{\tfrac{1}{4}\ln5}{2\pi} =-\frac{\ln5}{8\pi}.

Resposta

(a) Subamortecido.
(b) \displaystyle \frac{b}{m}=\frac{\ln5}{2}\approx0,8047\;\text{s}^{-1}.
(c) \displaystyle \tan\varphi=-\frac{\ln5}{8\pi}\approx-0,0640.

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